初中数学湘教版七年级下册第三章因式分解章末检测（提高训练）

试卷更新日期：2021-03-29 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x - 2 = x (x - 1) - 2$ B、 $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ C、 $x^{2} - 1 = x (x - \frac{1}{x})$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$

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2. 已知a为实数，且a³+a²-a+2=0，则（a+1）²⁰⁰⁸+（a+1）²⁰⁰⁹+（a+1）²⁰¹⁰的值是（）

A、-3 B、3 C、-1 D、1

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3. 如果25⁷＋5¹³能被n整除，则n的值可能是（）

A、20 B、30 C、35 D、40

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4. 多项式x²y（a-b）-xy（b-a）+y（a-b）提公因式后，另一个因式为（　　）

A、 $x^{2} - x + 1$ B、 $x^{2} + x + 1$ C、 $x^{2} - x - 1$ D、 $x^{2} + x - 1$

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5. 下列选项中所表示的数，哪一个与252的最大公因数为42（）

A、2×3×5²×7² B、2×3²×5×7² C、2²×3×5²×7 D、2²×3²×5×7

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6. 代数式x-2是下列哪一组的公因式（）

A、(x+2)² ， (x-2)² B、x²-2x，4x-6 C、3x-6，x²-2x D、x-4，6x-18

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7. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - \frac{4}{9} y^{2} = (x + \frac{4}{3} y) (x - \frac{4}{3} y)$ B、 $- y^{3} + 2 y^{2} + y = - y {(y - 1)}^{2}$ C、 $3 x^{2} + 12 x y = x (3 x + 12 y)$ D、 $x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = {(x + 3 y)}^{2}$

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8. 多项式：①16x²﹣8x；②（x﹣1）²﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）⁴﹣4x（x+1）²+4x²；④﹣4x²﹣1+4x 分解因式后，结果中含有相同因式的是（）

A、①和② B、③和④ C、①和④ D、②和③

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9. 如下列试题，嘉淇的得分是（）
姓名：嘉淇得分：

将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）

① $2 x y - 4 x y z = 2 x y (1 - 2 z)$ ；② $- 3 x - 6 x^{2} = - 3 x (1 - 2 x)$ ；③ $a^{2} + 2 a + 1 = a (a + 2)$ ；④ $m^{2} - 4 n^{2} = {(m - 2 n)}^{2}$ ；⑤ $- 2 x^{2} + 2 y^{2} = - 2 (x + y) (x - y)$

A、40分 B、60分 C、80分 D、100分

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10. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x²+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x²﹣1）﹣3b（x²﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱学 B、爱五中 C、我爱五中 D、五中数学

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二、填空题

11. 分解因式：3a²﹣12ab+12b²＝.

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12. 把多项式 $9 a b^{2} - 6 a^{2} b + a^{3}$ 分解因式的结果为．

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13. 如果 $(x + 3) (x + a) - 2$ 可以因式分解为 $(x + m) (x + n)$ （其中 $m$ ， $n$ 均为整数），则 $a$ 的值是．

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14. 若x+y= -1，则x⁴+5x³y+x²y+8x²y²+xy²+5xy³+y⁴的值等于。

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15. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ，则 $x^{2} y + {xy}^{2} =$

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16. 已知 $a 、 b 、 c$ 是△ABC的三边的长，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 b (a + c) = 0$ ，则此三角形的形状是.

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三、计算题

17. 将下列各式因式分解

(1)、 $- x^{2} + \frac{1}{4} y^{2}$

(2)、 $2 x^{2} - 8 x + 8$

(3)、 $a^{4} b - 6 a^{3} b + 9 a^{2} b$

(4)、 ${(x + y + z)}^{2} - {(x - y - z)}^{2}$

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18. 已知（10x-31）（13x-17）-（13x-17）（3x-23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值

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19. 仔细阅读下面例题．解答问题：

例题：已知二次三项式，x²-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．

解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x²-4x+m=(x+3)(x+n)．则x²-4x+m=x²+(n+3)x+3n，∴ ${\begin{cases} n + 3 = - 4 \\ 3 n = m \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} n = - 7 \\ m = - 21 \end{cases}$ ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.

方法二：设x²-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x²-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).

仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x²-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．

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20.

(1)、分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（）+x（）=（）²
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）²=

③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=

(2)、根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰¹⁷分解因式的结果：.

(3)、变式：（1﹣x）（1+x）（1+x²）（1+x⁴）…（1+x²ⁿ）=.

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21.

(1)、填空： $a^{2} + 6 a +$ $= (a +$ $)^{2}$ ；

(2)、阅读，并解决问题：分解因式 ${(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 1$
解：设 $a + b = x$ ，则原式 $= x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2} = {(a + b + 1)}^{2}$

这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：

① ${(m + n)}^{2} - 14 (m + n) + 49$

② $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$

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22. 先阅读材料：
分解因式： ${(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 1$ ．

解：令 $a + b = M$ ，

则 ${(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 1$

$= M^{2} + 2 M + 1 = {(M + 1)}^{2}$

所以 ${(a + b)}^{2} + 2 (a + b) + 1 = {(a + b + 1)}^{2}$ ．

材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：

(1)、分解因式： $1 - 2 (x + y) + {(x + y)}^{2} =$ ；

(2)、分解因式： $(m + n) (m + n - 4) + 4$ ；

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23.

(1)、因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；

(2)、设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x²？求出所有满足条件的 k 的值．若不能，请说明理由．

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24. 观察下列式子的因式分解做法：
①x²-1=(x-1)(x+1)；

②x³﹣1

=x³﹣x+x﹣1

=x（x²﹣1）+x﹣1

=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）

=（x﹣1）[x（x+1）+1]

=（x﹣1）（x²+x+1）；

③x⁴﹣1

=x⁴﹣x+x﹣1

=x（x³﹣1）+x﹣1

=x（x﹣1）（x²+x+1）+（x﹣1）

=（x﹣1）[x（x²+x+1）+1]

=（x﹣1）（x³+x²+x+1）；

…

(1)、模仿以上做法，尝试对x⁵﹣1进行因式分解；

(2)、观察以上结果，猜想xⁿ﹣1=；（n为正整数，直接写结果，不用验证）

(3)、根据以上结论，试求4⁵+4⁴+4³+4²+4+1的值．
4⁵+4⁴+4³+4²+4+1

= $\frac{1}{3}$ ×（4﹣1）（4⁵+4⁴+4³+4²+4+1）

= $\frac{1}{3}$ ×（4⁶﹣1）

= $\frac{4^{6} - 1}{3}$ ．

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二、填空题

三、计算题

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