湖南省永州市2021届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $M$ ， $N$ 是 $R$ 的子集，且 $M \subseteq N$ ，则 $(∁_{R} N) \cap M =$ （）

A、 $M$ B、 $N$ C、 $\emptyset$ D、 $R$

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2. 若复数 $z$ 对应的点是 $(- 1, 1)$ ，则 $\frac{1}{z + 1} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、-1 D、1

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3. 在边长为3的等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B M} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $a = \log_{3} \frac{1}{2}$ ， $b = 3^{0.7}$ ， $c = \sin 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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5. 2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案，将采取“ $3 + 1 + 2$ ”模式，即语文､数学､英语必考，考生首先在物理､历史中选择1门，然后在政治､地理､化学､生物中选择2门.则某同学选到物理､地理两门功课的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）

A、小寒比大寒的晷长长一尺 B、春分和秋分两个节气的晷长相同 C、小雪的晷长为一丈五寸 D、立春的晷长比立秋的晷长长

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7. 曲线 $f (x) = 2 \ln x$ 在 $x = t$ 处的切线 $l$ 过原点，则 $l$ 的方程是（）

A、 $2 x - e y = 0$ B、 $2 x + e y = 0$ C、 $e x - 2 y = 0$ D、 $e x + 2 y = 0$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值为 $\frac{ω}{3}$ ，则实数 $ω$ 的取值个数最多为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 是其上一动点，点 $M (1 ， 1)$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，下列结论正确的是（）

A、 $| P M | + | P F |$ 的最小值是2 B、动点 $P$ 到点 $H (3 ， 0)$ 的距离最小值为3 C、存在直线 $l$ ，使得 $A$ ， $B$ 两点关于直线 $x + y - 3 = 0$ 对称 D、与抛物线 $C$ 分别相切于 $A$ ､ $B$ 两点的两条切线交于点 $N$ ，若直线 $A B$ 过定点 $(2 ， 0)$ ，则点 $N$ 在抛物线 $C$ 的准线上

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二、多选题

10. 下列说法正确的是（）

A、线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 B、10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为 $\frac{7}{15}$ C、某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为 $6 : 5 : 4$ ，则应从高二年级中抽取20名学生 D、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”是互斥而不对立的事件

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11. 关于多项式 ${(\frac{2}{x} - x)}^{6}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A、各项系数之和为1 B、二项式系数之和为 $2^{6}$ C、存在常数项 D、 $x^{4}$ 的系数为12

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12. $P$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中线段 $B C_{1}$ 上的动点(点 $P$ 异于点 $B$ )，下列说法正确的是（）

A、 $A P ⊥ B_{1} C$ B、异面直线 $B P$ 与 $A C$ 所成的角是 $60 °$ C、 $V_{P - A D_{1} C}$ 的大小与 $P$ 点位置有关 D、二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $45 °$

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三、填空题

13. 若对 $\forall x \in [1, 2]$ ，都有 $a x^{2} - x \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有一动点 $P$ 满足 $| O P | = 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点，若 $M (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $| P M |$ 的最小值为.

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15. 已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，从双曲线 $C$ 的右焦点 $F$ 引渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，若 $△ A F O$ 的面积为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的方程为.

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16. 定义方程 $f (x) = f' (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“新驻点”.

(1)、设 $f (x) = \cos x$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的“新驻点”为；

(2)、如果函数 $g (x) = e^{x} - x$ 与 $h (x) = \ln (x + 1)$ 的“新驻点”分别为 $α$ ､ $β$ ，那么 $α$ 和 $β$ 的大小关系是.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos (x + \frac{π}{2}) - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，若 $f (A) = 2$ ， $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积.

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18. 给定三个条件：① $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，② $S_{4} = 5 a_{2}$ ，③ $(n + 1) a_{n} = n a_{n + 1}$ ，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 6$ ，___________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $K_{n}$ ，求证： $K_{n} < \frac{3}{4}$ .

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19. 为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求所抽取的样本平均数 $\bar{x}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)、将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于 $(10 ， 30]$ 内的支数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 在如图所示的圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 为圆 $O_{1}$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的两个三等分点， $E A$ ， $F C$ ， $G B$ 都是圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的母线.

(1)、求证： $F O_{1} / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若 $B C = F C = 2$ ，求二面角 $B - A F - C$ 的余弦值.

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21. 某城市决定在夹角为 $30 °$ 的两条道路 $E B$ ､ $E F$ 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示， $A B = 2$ 千米， $O$ 为 $A B$ 的中点， $O D$ 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域 $O M N$ ，其中 $M$ ， $N$ 在椭圆上，且 $M N$ 的倾斜角为 $45 °$ ，交 $O D$ 于 $G$ .

(1)、若 $O E = 3$ 千米，为了不破坏道路 $E F$ ，求椭圆长半轴长的最大值；

(2)、若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，当线段 $O G$ 长为何值时，游乐区域 $△ O M N$ 的面积最大？

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x + a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、当 $a = 1 - \sin x$ 时，讨论 $g (x) = f (x) + x - 2$ 在 $(- π, π)$ 上的零点个数.

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