湖北省2020-2021学年高三上学期数学高考模拟演练试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $z + i (1 - i) \in R$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. 已知 $m, n$ 是平面 $α$ 内的两条相交直线，且直线 $l ⊥ n$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为 $O$ 型49%， $A$ 型19%， $B$ 型25%， $A B$ 型7%.已知同种血型的人可以互相输血， $O$ 型血的人可以给任何一种血型的人输血， $A B$ 型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为 $B$ 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）

A、25% B、32% C、74% D、81%

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4. 已知正数 $a, b$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m^{2} + 4) x + m = 0$ 的两根，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 已知 $a = \log_{3} 15$ ， $b = \log_{4} 20$ ， $2^{c} = 1.9$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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6. 当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排 $A, B, C, D, E$ 五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且 $A, B$ 两人安排在同一个地区， $C, D$ 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（）

A、86种 B、64种 C、42种 D、30种

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7. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 $A ， B ， C ， D ， E$ 为顶点的多边形为正五边形，且 $\frac{P T}{A P} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则（）

A、 $\vec{C T} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \vec{C A} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \vec{C E}$ B、 $\vec{C T} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{C A} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{C E}$ C、 $\vec{C T} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{C A} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{C E}$ D、 $\vec{C T} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \vec{C A} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{C E}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \sin π x$ ，且满足当 $x > 1$ 时， $f (x) = 2 f (x - 2)$ ，若对任意 $x \in [- m ， m]$ ， $f (x) \leq 2 \sqrt{3}$ 成立，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{23}{6}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、 $\frac{13}{3}$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | \log_{2} x < 1}$ ， $B = {x | 4 - 3 x > 0}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | 0 < x < \frac{4}{3}}$ B、 $A \cup B = {x | x < 2}$ C、 $A \cap B = ϕ$ D、 $(∁_{R} A) \cup B = {x | x < \frac{4}{3}$ 或 $x > 2}$

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10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取 $7$ 位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（）

A、甲、乙两组成绩的平均分相等 B、甲、乙两组成绩的中位数相等 C、甲、乙两组成绩的极差相等 D、甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - \sin 2 x$ ，若 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则（）

A、 $x_{1}^{2} > x_{2}^{2}$ B、 $e^{x_{1} - x_{2}} > 1$ C、 $\ln | x_{1} | > \ln | x_{2} |$ D、 $x_{1} | x_{1} | > x_{2} | x_{2} |$

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12. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $P$ 为椭圆上任意一点(不在 $x$ 轴上)， $△ P F_{1} F_{2}$ 外接圆的圆心为 $H$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心为 $I$ ，直线 $P I$ 交 $x$ 轴于点 $M, O$ 为坐标原点.则（）

A、 $\vec{P H} \cdot \vec{P O}$ 的最小值为 $\frac{a^{2}}{2}$ B、 $\vec{P H} \cdot \vec{P O}$ 的最小值为 $\frac{a^{2}}{4}$ C、椭圆 $C$ 的离心率等于 $\frac{| P I |}{| I M |}$ D、椭圆 $C$ 的离心率等于 $\frac{| I M |}{| P I |}$

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $a_{4} a_{6} = 2 a_{5}$ ，则 $T_{9} =$ .

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14. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左､右焦点，若双曲线 $C$ 上存在一点 $M$ 满足 $| M F_{1} | : | M F_{2} | : | F_{1} F_{2} | = 12 : 13 : 5$ ，则该双曲线的离心率为.

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15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也.”现有一个刍甍如图所示，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，上棱 $E F = 2 \sqrt{2}$ ，四边形 $A B F E ， C D E F$ 为两个全等的等腰梯形， $E F$ 到平面 $A B C D$ 的距离为2，则该刍甍外接球的表面积为.

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16. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域存在 $x_{1}, x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} = 1$ 成立，则称该函数为“互补函数”.若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (ω x - \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[π, 2 π]$ 上为“互补函数”，则 $ω$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在① $S_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$ ；② $a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n - 1}$ ， $S_{7} = 4 a_{7} = 28$ ；③ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{n}$ ， $S_{3} = 6$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.
问题：设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，_________，若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{a_{n}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.

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18. 全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化､极端气候的出现､生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难.某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份知识问卷，并邀请40名同学(男女各占一半)参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后20组同学得分如下表：

组别号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
男同学得分	4	5	5	4	5	5	4	4	5	5
女同学得分	3	4	5	5	5	4	5	5	5	3
组别号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
男同学得分	4	4	4	4	4	4	5	5	4	3
女同学得分	5	5	4	5	4	3	5	3	4	5

参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

(1)、完成下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次比赛是否得满分”与“性别”有关：

	男同学	女同学	总计
该次比赛得满分
该次比赛未得满分
总计

(2)、随机变量

X

表示每组男生分数与女生分数的差，求

X

的分布列与数学期望.

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19. 在 $△ A B C$ 中，设 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $\cos B = \frac{1}{3}$ ， $a + b = 7 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、已知 $D, E$ 分别在边 $B A, B C$ 上，且 $A D + C E = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ B D E$ 面积的最大值.

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20. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ A D E$ 为等边三角形，且平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B F$ 和平面 $A B C D$ 所成的角为45°，且点 $F$ 在平面 $A B C D$ 上的射影落在四边形 $A B C D$ 的中心，且 $A D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A E D$ 与平面 $B C F$ 所成角(锐角)的余弦值.

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $F$ 为其焦点， $P (1, y) (y > 0)$ ， $A, B$ 三点都在抛物线 $C$ 上，且 $| F P | = 2$ ，设直线 $A B, P A, P B$ 的斜率分别为 $k, k_{1}, k_{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程，并证明 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{1}{k} + 1$ ；

(2)、已知 $M (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，且 $A, B, M$ 三点共线，若 $P A ⊥ P B$ 且 $k_{1} > k_{2}$ ，求直线 $P A$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > \frac{1}{x} - e^{1 - x} + a$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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