河南省新乡市2020-2021学年高三下学期理数2月一轮复习摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 3 - x > 1}$ ， $B = {x ∣ 3 - 3^{x} > 0}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x ∣ x > 1}$ B、 $A \cup B = {x ∣ x > 2}$ C、 $A \cup B = R$ D、 $A \cap (∁_{R} B) = {x ∣ 1 \leq x < 2}$

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2. 设 $(- 1 + 2 i) x = y - 1 - 6 i$ ， $x, y \in R$ ，则 $| x - y i | =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该次课外知识测试及格率为90% B、该次课外知识测试得满分的同学有30名 C、该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D、若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 3)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{13 \sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{13 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{13 \sqrt{89}}{89}$ D、 $- \frac{13 \sqrt{89}}{89}$

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6. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是侧棱 $B B_{1}$ 的中点，则直线 $C_{1} D$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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7. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (- π \leq φ \leq π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，与函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象重合，则 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $[k π + \frac{π}{3} ， k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$ C、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$

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8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为 $2$ ，则该几何体的表面积为（）

A、 $3 π + 2$ B、 $4 π + 2$ C、 $3 π + 3$ D、 $4 π + 3$

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9. 意大利数学家斐波那契于 $1202$ 年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1} (n \in N_{+})$ ，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有（）

A、333项 B、334项 C、666项 D、667项

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10. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ , $B$ 两点，则直线 $O A$ ， $O B$ ( $O$ 为坐标原点)的斜率之积为（）

A、-8 B、-4 C、-2 D、-1

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2 n} - a_{2 n - 1} = 3^{n} - 1$ ， $a_{2 n + 1} + a_{2 n} = 3^{n} + 5 (n \in N_{+})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $40$ 项和 $S_{40} =$ （）

A、 $\frac{3^{21} + 197}{2}$ B、 $\frac{3^{20} + 197}{2}$ C、 $9^{10} + 98$ D、 $9^{20} + 98$

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12. 已知定义域为 $(0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ ，且 $f (e) = \frac{2}{e}$ ， $e$ 为自然对数的底数，若关于 $x$ 的不等式 $\frac{f (x)}{x} - x - \frac{a}{x} + 2 \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[\frac{e + 2}{e} ， + \infty)$ D、 $[\frac{- e^{3} + 2 e^{2} + 2}{e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ x \leq 1 \\ y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为.

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14. 小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是.

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15. 已知双曲线 $C： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在其右支上， $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆为圆 $I$ ， $F_{2} M ⊥ P I$ ，垂足为点 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则 $| O M | =$ .

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16. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2}$ .若不等式 $\frac{1}{4} f (a x^{2}) +$ $f (3 - x) \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $bcos \cdot A = c - \frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ， $B C$ 边上的高 $A H = 1$ ，求 $b$ ， $c$ .

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18. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，女射手每次的命中率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；

(2)、当每人射击 $1$ 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标 $3$ 次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得-50分.用随机变量 $X$ 表示这个射击小组的总得分，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 点 $E$ ， $F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $M$ 在边 $A B$ 上，且 $A B = 3 A M$ ，沿图 $1$ 中的虚线 $D E$ 、 $E F$ 、 $F D$ 将 $△ A D E$ 、 $△ B E F$ 、 $△ C D F$ 折起使 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点重合，重合后的点记为点 $P$ ，如图 $2$ .

(1)、证明： $P F ⊥ D M$ ；

(2)、求二面角 $P - D M - F$ 的余弦值.

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20. 已知动点 $P$ 到点 $(- \sqrt{6}, 0)$ 的距离与到直线 $x = - \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A (- 4, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，已知点 $B (- 2, - 1)$ ，直线 $B M$ ， $B N$ 分别交 $x$ 轴于点 $E$ ， $F$ .试问在 $x$ 轴上是否存在一点 $G$ ，使得 $\vec{B E} \cdot \vec{G F} + \vec{G E} \cdot \vec{B F} = 0$ ？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 3) - x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $a e^{x} + \ln \frac{a}{x + 3} = 3 (a > 0)$ 有两个不等实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} > \frac{2}{a}$ .

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22. 在极坐标系中，点 $A (1, \frac{π}{6})$ ， $B (1, \frac{π}{2})$ ，曲线 $C: ρ = 2 \sin (θ + \frac{π}{3})$ .以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系.

(1)、在直角坐标系中，求点 $A$ ， $B$ 的直角坐标及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、设点 $P$ 为曲线 $C$ 上的动点，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2}$ 的取值范围.

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23.

(1)、已知 $a + b + c = 1$ ，证明： ${(a + 2)}^{2} + {(b + 2)}^{2} + {(c + 2)}^{2} \geq \frac{49}{3}$ ；

(2)、若对任意实数 $x$ ，不等式 $| x - a | + | 2 x + 1 | \geq \frac{3}{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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