河南省焦作市2020-2021学年高三上学期理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \frac{2 x + 1}{x - 3} \leq 1}$ ， $B = {x | 3^{x} \geq \frac{1}{3}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3)$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 4 ， - 1]$ D、 $[- 4 ， 3)$

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2. 若 $z + 2 \bar{z} = 3 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中有常数项，则 $n$ 的值可能是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 $45 °$ ，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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5. 已知 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0$ ，则下列不等式① $\frac{b}{a} > 1$ ；② $| a | > | b |$ ；③ $a^{3} > b^{3}$ ；④ ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ ．其中正确的是（）

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

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6. 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）

A、 $\frac{1}{14}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ ，点 $A, B$ 是曲线 $y = f (x)$ 相邻的两个对称中心，点 $C$ 是 $f (x)$ 的一个最值点，若 $△ A B C$ 的面积为1，则 $ω =$ （）

A、1 B、 $\frac{π}{2}$ C、2 D、π

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + \cos x$ ，则不等式 $f (2 m) > f (m - 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， 2)$

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9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边 $a$ ， $b$ ， $c$ 依次成等差数列， $△ A B C$ 的周长为15，且 ${(\sin A + \sin B)}^{2} + \cos^{2} C =$ $1 + \sin A \sin B$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{13}{14}$ B、 $\frac{11}{14}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在半径为5的球面上，且 $A B = A C = 2 \sqrt{14}$ ， $B C = 2 \sqrt{7}$ ， $P$ 为球面上的动点，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{56 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{52 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{49 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{14 \sqrt{7}}{3}$

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11. 已知点 $A$ 在直线 $3 x + y - 6 = 0$ 上运动，点 $B$ 在直线 $x - 3 y + 8 = 0$ 上运动，以线段 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，则圆 $C$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{9 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{2}$

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12. 已知 $α, β \in (0, 2 π)$ ，且满足 $\sin α - \cos α = \frac{1}{2}$ ， $\cos β - \sin β = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、1 B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或1 C、 $- \frac{3}{4}$ 或1 D、1或-1

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二、填空题

13. 平面向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ ．

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 3 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ 的取值范围是.

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15. 若函数 $f (x) = | e^{x} - a | - 1$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 设 $P$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 上的一个动点，点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，则 $3 d_{1} + d_{2}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ 和 $\frac{2}{a_{n}}$ 的等差中项为1．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \log_{4} a_{n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A D = 3$ ， $A B = 5$ ， $\cos ∠ B A D = \frac{3}{5}$ ， $B D = D D_{1}$ ， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $D B E ⊥$ 平面 $A D D_{1}$ ；

(2)、求直线 $A D_{1}$ 和平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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19. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 只能是1，2，3， $\dots$ ，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.

(1)、当输入 $x = 12$ 和 $x = 20$ 时，求输出 $y$ 的值；

(2)、求输出的 $y$ 值的分布列；

(3)、某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出 $y$ 的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.

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20. 已知椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，一个焦点坐标为 $(0, 2 \sqrt{2})$ ，曲线 $C_{2}$ 上任一点到点 $(\frac{9}{4}, 0)$ 和到直线 $x = - \frac{9}{4}$ 的距离相等．
（Ⅰ）求椭圆 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的标准方程；

（Ⅱ）点 $P$ 为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的一个交点，过 $P$ 作直线 $l$ 交 $C_{2}$ 于点 $Q$ ，交 $C_{1}$ 于点 $R$ ，且 $Q, R, P$ 互不重合，若 $\vec{P Q} = \vec{R P}$ ，求直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a$ ， $g (x) = e^{x - a}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线也是曲线 $y = g (x)$ 的切线，证明： $\ln (x_{0} + 1) = \frac{x_{0} + 1}{x_{0}}$ ；

(2)、若 $g (x) - f (x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 3 - \frac{4}{5} t \\ y = 3 + \frac{3}{5} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 3 - \frac{\sqrt{10}}{10} s \\ y = 3 + \frac{3 \sqrt{10}}{10} s \end{array}$ （ $s$ 为参数）．

(1)、设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角为 $α$ ，求 $\tan α$ ；

(2)、设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴的交点为 $B$ ，以 $A$ 为圆心， $| A B |$ 为半径作圆，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 $A$ 的极坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | a x + 1 |$ ．
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) ⩽ 5$ ；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，若存在实数 $x$ ，使得 $2 m - 1 > f (x)$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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