海南省2021届高三数学第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x - 7 > 0}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 7}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 7}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 7}$ D、 ${x | x < 1$ 或 $x > 7}$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{2 + 4 i}{i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. ${(2 x - \frac{2}{3 x^{2}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- \frac{64}{3}$ B、 $- \frac{128}{81}$ C、64 D、-128

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4. 已知向量 $\vec{a} = (m, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 4)$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-4 B、1 C、4 D、7

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5. 设 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 6 \cdot \log_{6} m = \log_{4} (2 m + 8)$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、-2或4

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6. 为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织全体老师外出旅游，并给出了两个方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，那么该校全体老师中女老师的比例为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为 $\frac{8 π}{3}$ ，则球的表面积为（）

A、16π B、32π C、36π D、48π

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8. 古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 \sin 18^{°}$ 表示.若实数 $n$ 满足 $4 \sin^{2} 18^{°} + n^{2} = 4$ ，则 $\frac{1 - \sin 18^{°}}{8 n^{2} \sin^{2} 18^{°}} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 如图所示的统计图记录了2015年到2019年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）

A、这五年发明专利授权数的年增长率保持不变 B、这五年基础研究经费支出比发明专利授权数的涨幅更大 C、这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关 D、这五年基础研究经费支出与年份线性相关

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10. 下列函数中是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{2} - 2$ B、 $y = \frac{2}{x}$ C、 $y = | x | + \frac{1}{| x |}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{| x |}$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则（）

A、 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上 B、 $C$ 的虚轴长为2 C、直线 $x = \sqrt{5}$ 与 $C$ 相交的弦长为1 D、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$

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12. 已知函数 $f (x) = 3 \sin x + \sin 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是周期函数且最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的值域是 $[- 4, 4]$ D、当 $x \in (0, π)$ 时 $f (x) > 0$

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{6} a_{11} = 8$ ，则 $a_{4} a_{8} =$ .

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14. 函数 $f (x) = (1 + x^{2}) e^{x} - 1$ 的零点个数为.

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15. 已知抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 在 $C$ 上，满足 $\vec{A F} + \vec{B F} = \vec{0}$ ，且 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = - 16$ ，点 $P$ 是抛物线的准线上任意一点，则 $△ P A B$ 的面积为.

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16. 如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为 $30^{°}$ ，则该正八棱锥的高和底面边长之比为.(参考数据： $\tan {22.5}^{°} = \sqrt{2} - 1$ )

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四、解答题

17. 在① $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，② $a \sin B = b$ ，③ $\sqrt{3} \cos \frac{C}{2} = \sin C$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 $△ A B C$ 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a + b = 4$ ， $c = 2$ ， ▲ ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知公比大于0的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{1} + 5$ 是 $S_{2}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的 $A$ ， $B$ 两点处投篮，已知甲在 $A$ ， $B$ 两点的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙在 $A$ 点的命中率为 $p$ ，在 $B$ 点的命中率为 $1 - 2 p^{2}$ ，且他们每次投篮互不影响.

(1)、若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；

(2)、若甲和乙每人在 $A$ ， $B$ 两点各投篮一次，且在 $A$ 点命中计2分，在 $B$ 点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为 $X$ ，乙的得分为 $Y$ ，写出 $X$ 和 $Y$ 的分布列，若 $E X = E Y$ ，求 $p$ 的值.

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20. 如图所示，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 上，且满足 $A E = \frac{1}{3} A A_{1}$ ， $C F = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ .

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ ；

(2)、已知 $E F = 2$ ， $B D_{1} = 4$ ，设 $B F$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a (1 - \frac{\ln x}{x})$ ， $a \neq 0$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， e]$ ，都有 $f (x) - x + 2 \leq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点( $l$ 与 $x$ 轴不重合)， $△ F_{1} M N$ ， $△ F_{1} F_{2} M$ 的周长分别为12和8.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $T$ ，使得直线 $T M$ 与 $T N$ 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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