广西桂林、崇左市2021届高三理数联合调研考试（二模）试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x \geq - 1}, B = {x ∣ x^{2} + x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $(- 1, 0]$ D、 $[- 1, 0]$

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2. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ 的模为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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3. 某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是（）

A、 $y = k t^{2}$ B、 $y = \log_{2} t$ C、 $y = t^{3}$ D、 $y = {(\sqrt{2})}^{t}$

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4. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 $x = 0$ ，则一开始输入的x的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{31}{32}$

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5. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n ⩾ 3, n \in N^{*})$ ．将数列 ${a_{n}}$ 的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{21} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、0

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6. 已知 $(x - \frac{a}{x}) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为4，则实数 $a =$ （）

A、2 B、4 C、-2 D、-4

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7. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, \vec{b} = (2, \sqrt{2})$ ，且 $λ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} (λ \in R)$ ，则 $| λ | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、4

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8. 将函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{π}{6}) + 2 (ω > 0)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后与原函数图象重合，则实数 $ω$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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9. 过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点F做垂直于x轴的直线交C于 $A, B$ 两点，坐标原点为O，且 $△ O A B$ 为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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10. 已知四面体 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ A C ， A B ⊥ P B$ ，且 $A B = P B = 2 A C = 2 ， P C = 3$ ，则该四面体的外接球的体积为（）

A、 $9 π$ B、 $\frac{9}{2} π$ C、 $8 π$ D、 $\frac{27}{4} π$

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11. 若 $3^{a} + {(\ln 2)}^{b} \geq 3^{b} + {(\ln 2)}^{a} (a, b \in R)$ ，则（）

A、 $3^{a + b} \geq 1$ B、 $3^{| a - b |} \geq 2$ C、 $3^{a - b} \geq 1$ D、 $3^{| a + b |} \geq 2$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的上顶点为 $A ， B 、 C$ 为椭圆上异于A的两点，且 $A B ⊥ A C$ ，则直线 $B C$ 过定点（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(\sqrt{3} ， 0)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， - \frac{3}{5})$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ x - 2 y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值是．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = 150$ ，则 $S_{9} =$ ．

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15. 设点P是直线 $3 x - 4 y + 7 = 0$ 上的动点，过点P引圆 $3 a^{2} + 1 - 8 c^{2} = 0$ 的切线 $P A, P B$ （切点为 $A, B$ ），若 $∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆的半径r等于．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ ，有下列命题：
①函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为 $3 x + y - 4 = 0$ ；

②函数 $y = f (x)$ 有3个零点；

③函数 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值；

④函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 1)$ 对称

上述命题中，正确命题的序号是．

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三、解答题

17. 某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按200/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:

消费次第

第1次

第2次

第3次

第4次

$\geq$ 5次

收费比率

1

0.95

0.90

0.85

0.80

该公司注册的会员中没有消费超过 $5$ 次的,从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:

消费次数

1次

2次

3次

4次

5次

人数

60

20

10

5

5

假设汽车美容一次,公司成本为150元,根据所给数据,解答下列问题:

(1)、某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;

(2)、以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为 $X$ 元,求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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18. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E ， F ， G$ 分别为 $A B ， B C ， C C_{1}$ 的中点．

(1)、画出平面 $E F G$ 截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；

(2)、求二面角 $G - E F - B_{1}$ 的余弦值．

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19. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = \frac{\sqrt{6}}{2} B C = \sqrt{3}$ ，且 $A C^{2} + 2 A B = 5$ ．

(1)、求 $∠ A B C$ 的值；

(2)、若P是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ A P B = \frac{5 π}{6}, ∠ C P B = \frac{3 π}{4}$ ，求 $\tan ∠ P B A$ ．

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20. 已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = e^{a x} - a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > \frac{1}{2}$ 时，若对任意的 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，均有 $f (x) \geq \frac{a}{2} (x^{2} + 1)$ ，求a的取值范围．

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21. 已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为 $l ， O$ 为坐标原点，过F的直线m与抛物线E交于 $A 、 B$ 两点，过F且与直线m垂直的直线n与准线 $l$ 交于点M．

(1)、若直线m的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{| A F |}{| B F |}$ 的值；

(2)、设 $A B$ 的中点为N，若 $O 、 M 、 N 、 F$ 四点共圆，求直线m的方程．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ ，若极坐标系内异于 $O$ 的三点 $A (ρ_{1}, φ)$ ， $B (ρ_{2}, φ + \frac{π}{6})$ ， $C (ρ_{3}, φ - \frac{π}{6}) (ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{3} > 0)$ 都在曲线 $M$ 上.

(1)、求证： $\sqrt{3} ρ_{1} = ρ_{2} + ρ_{3}$ ；

(2)、若过 $B$ ， $C$ 两点直线的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），求四边形 $O B A C$ 的面积.

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23. 已知实数 $a, b, c$ ，满足 $a + b + c = 1$ ．

(1)、若 $a, b \in R^{+}, c = 0$ ，求证： ${(a + \frac{1}{a})}^{2} + {(b + \frac{1}{b})}^{2} \geq \frac{25}{2}$ ；

(2)、设 $a > b > c, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，求证： $a + b > 1$ ．

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消费次第	第1次	第2次	第3次	第4次	$\geq$ 5次
收费比率	1	0.95	0.90	0.85	0.80

消费次数	1次	2次	3次	4次	5次
人数	60	20	10	5	5