广东省肇庆市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-03-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 图中阴影部分所对应的集合是（）

A、 $(A \cup B) \cap (∁_{U} B)$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $(∁_{U} (A \cap B)) \cap (A \cup B)$ D、 $(∁_{U} (A \cup B)) \cup (A \cap B)$

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2. 在复平面内，复数 $\bar{z} = \frac{5 i}{3 - 4 i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 对应的点的坐标为（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{(x + 1) (x - a)}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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4. 牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在《格古要论·珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”.现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为 $100 π {cm}^{2}$ 和 $64 π {cm}^{2}$ 的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点 $A$ ，在内球表面上有一点 $B$ ，连接线段 $A B$ .若线段 $A B$ 不穿过小球内部，则线段 $A B$ 长度的最大值是（）

A、 $\sqrt{41}$ cm B、9cm C、3cm D、2cm

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5. 二项式 ${(a x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项为60，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、±2 D、±3

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6. 曲线 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x}$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y - 3 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 3 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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7. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边与以 $O$ 为圆心的单位圆相交于 $A$ 点.若 $A$ 的横坐标为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则（）

A、 $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\cos 2 α = - \frac{2}{3}$ C、 $\sin 2 α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\tan 2 α = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，在双曲线 $C$ 存在点 $M$ ，使得 $2 | O M | = | F_{1} F_{2} |$ ，设 $Δ F_{1} M F_{2}$ 的面积为 $S$ .若 $16 S = {(| M F_{1} | + | M F_{2} |)}^{2}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组： $[90 ， 91)$ ， $[91 ， 92)$ ， $[92 ， 93)$ ， $[93 ， 94)$ ， $[94 ， 95)$ ， $[95 ， 96]$ ，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）

A、 $b = 0.25$ B、长度落在区间 $[93 ， 94)$ 内的个数为35 C、长度的众数一定落在区间 $[93 ， 94)$ 内 D、长度的中位数一定落在区间 $[93 ， 94)$ 内

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ）的部分图象如图所示，则 $f (x) =$ （）

A、 $2 \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $2 \sin (2 x - \frac{5 π}{3})$ C、 $2 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $2 \cos (x - \frac{7 π}{6})$

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11. 已知两种不同型号的电子元件（分别记为 $X$ ， $Y$ ）的使用寿命均服从正态分布， $X ~ N$ $(μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示（）

参考数据：若 $Z ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq Z \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq Z \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$

A、 $P (μ_{1} - σ_{1} < X < μ_{1} + 2 σ_{1}) \approx 0.8186$ B、 $P (Y \geq μ_{2}) < P (Y \geq μ_{1})$ C、 $P (X \leq σ_{2}) < P (X \leq σ_{1})$ D、对于任意的正数 $t$ ，有 $P (X \leq t) > P (Y \leq t)$

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} P //$ 平面 $A D_{1} C$ B、 $A_{1} P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $A_{1} P + P C$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{170}}{5}$ D、以 $A$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面与侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 的交线长是 $\frac{π}{2}$

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三、填空题

13. 写出一个与向量 $\vec{a} = (2, 1)$ 共线的向量：.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x - a, x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (f (\frac{1}{4})) = 4$ ，则 $a =$ .

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15. 已知点 $P$ 是抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $A (2 ， 0)$ 的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为.

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16. 斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $1 + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + \dots + a_{2021}$ 是斐波那契数列 ${a_{n}}$ 中的第项.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a (\sin A - \sin B) + b \sin B = c \sin C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $a + b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{n + 1} \cdot (2 - S_{n}) = 1$ .

(1)、求证： ${\frac{1}{S_{n} - 1}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 中最接近2020的数.

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19. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求比赛结束时恰好打了7局的概率；

(2)、若现在是小明6：2的比分领先，记 $X$ 表示结束比赛还需打的局数，求 $X$ 的分布列及期望.

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20. 如图，在四边形 $P D C B$ 中， $P D / / B C$ ， $B A ⊥ P D$ ， $P A = A B = B C = 1$ ， $A D = \frac{1}{2}$ .沿 $B A$ 将 $△ P A B$ 翻折到 $△ S B A$ 的位置，使得 $S D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、作出平面 $S C D$ 与平面 $S B A$ 的交线 $l$ ，并证明 $l ⊥$ 平面 $C S B$ ；

(2)、点 $Q$ 是棱 $S C$ 于异于 $S$ ， $C$ 的一点，连接 $Q D$ ，当二面角 $Q - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，求此时三棱锥 $Q - B C D$ 的体积.

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21. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $C_{1}$ 的长轴是圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过椭圆 $C_{1}$ 的左焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $l_{2}$ 交圆 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求四边形 $P M Q N$ 面积的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a (x \ln x - x) + (a + 1) \ln x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $y = f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，讨论函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的零点个数.

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