高中数学人教版（2019）必修二第七章复数单元测试

试卷更新日期：2021-03-26 类型：单元试卷

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1. 若复数z满足 $z + (5 - 6 i) = 3$ ，则z的虚部是（）

A、 $- 2 i$ B、 $6 i$ C、1 D、6

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2. 复数 ${(\frac{3 + i}{1 - i})}^{2} =$ （）

A、 $- 3 - 4i$ B、 $- 3 + 4i$ C、 $3 - 4i$ D、 $3 + 4i$

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3. 已知 $a \in R$ ，若有 $| a - i | = \sqrt{5}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a =$ （）

A、1 B、-2 C、±2 D、±1

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4. 复数 $z = (2 - i) (1 + 2 i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 若 $z = 1 + i$ ，则 $| z^{2} - z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 已知i为虚数单位，且复数 $\frac{| 3 + 4 i |}{z} = 1 - 2 i$ ，则复数z的共轭复数为（）

A、 $- 1 + 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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7. $i$ 是虚数单位，若 $\frac{1 - 7 i}{2 + i} = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $a b$ 的值是（）

A、-15 B、-3 C、3 D、15

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8. 已知复数 $z = (1 - i) - m (1 + i)$ 是纯虚数，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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9. 已知集合 $M = {m | m = i^{n}, n \in N}$ ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）

A、 $(1 - i) (1 + i)$ B、 $\frac{1 - i}{1 + i}$ C、 $\frac{1 + i}{1 - i}$ D、 ${(1 - i)}^{2}$

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10. 设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题中正确的是（）

A、若 $| z_{2} | = | z_{3} |$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ B、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ C、若 ${\bar{z}}_{2} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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11. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = i$ $($ $i$ 为虚数单位 $)$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $| z | = \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1 + 2 i}{5}$ C、复数 $z$ 的实部为-1 D、复数 $z$ 对应复平面上的点在第二象限

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12. 已知复数 $z = \cos θ + i \sin θ (- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ （其中 $i$ 为虚数单位）下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B、 $z$ 可能为实数 C、 $| z | = 1$ D、 $\frac{1}{z}$ 的虚部为 $\sin θ$

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13. 设 $a \in R$ ，若 $\frac{a}{1 + i} + 1 + i$ 是实数，则 $a =$ ．

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14. 若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} | = 3$ ， $| z_{1} + z_{2} | = 3 \sqrt{2}$ ，则 $| 2 z_{1} - z_{2} |$ 的值是.

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15. 复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 3 - 2 i$ ，则 $| z_{1} | =$ ， $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ ．

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16. 已知复数z满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 5$ ，则z的虚部是， $| z | =$ ．

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17. 设复数 $z = \lg (m^{2} + 2 m - 14) + (m^{2} - m - 6) i$ ，求实数 $m$ 为何值时？

(1)、 $z$ 是实数；

(2)、 $z$ 对应的点位于复平面的第二象限.

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18. 已知复数 $z = 1 - i (i$ 是虚数单位）.

(1)、求 $z^{2} - z$ ；

(2)、如图，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上的对应点分别是A，B，求 $\frac{z_{1} + z_{2}}{z}$ .

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19. 已知虚数 $z = a + b i (a, b \in R, b \neq 0)$ 满足 $z + \frac{2}{z} \in R$

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若 $a (z - \frac{2}{z}) = i$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值.

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20. 已知复数 $α = 2 - i$ ， $β = m - i$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $| α + β | < 2 | \bar{α} |$ ，求实数m的取值范围；

(2)、若 $β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - n x + 10 = 0 (n \in R)$ 的一个根，求实数m与n的值.

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21. 已知复数 $z_{1} = 2 \sin θ - \sqrt{3} i ， z_{2} = 1 + (2 \cos θ) i ， θ \in [0 ， π]$

(1)、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，求角 $θ$ ；

(2)、复数 $z_{1} ， z_{2}$ 对应的向量分别是 $\vec{O Z_{1}} ， \vec{O Z_{2}}$ ，其中 $O$ 为坐标原点，求 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}}$ 的取值范围.

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22.

(1)、已知 $z \in C$ ，解关于z的方程 $(z - 3 i) \cdot \bar{z} = 1 + 3 i$ ；

(2)、已知 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + a x + b = 0$ 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.

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