广东省深圳市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${3, 4}$ B、 ${2, 3, 4}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. 小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）

A、6 B、12 C、24 D、48

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4. 设 $α, β, γ$ 为三个不同的平面，若 $α ⊥ β$ ，则“ $γ // β$ 是“ $α ⊥ γ$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，有下列四个命题：
甲： $P (ξ < a - 1) > P (ξ > a + 2)$ 乙： $P (ξ > a) = 0.5$

丙： $(ξ \leq a) = 0.5$ 丁： $P (a < ξ < a + 1) < P (a + 1 < ξ < a + 2)$

如果只有一个假命题，则该命题为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）

A、40 B、39 C、38 D、37

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} (m, n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{k} = 135$ ，则 $k =$ （）

A、10 B、9 C、8 D、7

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8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 $\sqrt{3}$ ， $△ A B E$ ， $△ B E C$ ， $△ E C D$ 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， $\vec{A C} \cdot \vec{B P}$ 的最大值为（）

A、18 B、24 C、36 D、48

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二、多选题

9. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m + n} - \frac{y^{2}}{m - n} = 1$ 的左、右焦点，且 $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $m = 2$ B、当 $n = 0$ 时，C的离心率是2 C、 $F_{1}$ 到渐近线的距离随着n的增大而减小 D、当 $n = 1$ 时，C的实轴长是虚轴长的两倍

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10. 已知函数 $f (x) = \cos 2 x - 2 \sin (\frac{π}{2} - x) \cos (\frac{π}{2} + x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为3 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递减

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11. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + x^{3}$ ，若 $0 < m < 1 < n$ ，则下列不等式一定成立的有（）

A、 $f (1 - m) < f (n - 1)$ B、 $f (2 \sqrt{m n}) < f (m + n)$ C、 $f (\log_{m} n) < f (\log_{n} m)$ D、 $f (m^{n}) < f (n^{m})$

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12. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，棱长为1的正四面体 $A B C D$ 的顶点A，B分别为y轴和z轴上的动点（可与坐标原点O重合），记正四面体 $A B C D$ 在平面 $x O y$ 上的正投影图形为S，则下列说法正确的有（）

A、若 $C D / /$ 平面 $x O y$ ，则S可能为正方形 B、若点A与坐标原点O重合，则S的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、若 $O A = O B = O C$ ，则S的面积不可能为 $\frac{1}{2}$ D、点D到坐标原点O的距离不可能为 $\frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知函数的图象关于y轴对称，且与直线 $y = x$ 相切，则满足上述条件的二次函数可以为 $f (x) =$ .

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14. 设F为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过F作倾斜角为 $60 °$ 的直线交C于A，B两点，若 $| A F | - | B F | = 4$ ，则 $| A B | =$ .

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15. 冈珀茨模型 $(y = k \cdot a^{b^{t}})$ 是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型： $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e^{- 0.125 t}}$ （当 $t = 0$ 时，表示2020年初的种群数量），若 $m (m \in N^{*})$ 年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为. $(\ln 2 \approx 0.7)$

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16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知 $△ A B C$ 内接于单位圆，以 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ .若 $∠ A C B = 30 °$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积最大值为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n + 1} = \frac{S_{n}}{1 + 2 S_{n}}$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角， $\sin B - \cos C = \frac{c^{2} - a^{2}}{2 a b}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $b = \frac{\sqrt{3}}{4} c$ ，且 $B C$ 边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在 $M$ 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在 $N$ 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 $M$ 处和 $N$ 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = S B = S C = S D = 13$ ， $A C ⊥ C D$ ， $A B = 6$ ， $B D = 8$ .

(1)、求证：平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - S B - D$ 的余弦值.

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21. 设 $O$ 是坐标原点，以 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为焦点的椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，以 $| F_{1} F_{2} |$ 为直径的圆和 $C$ 恰好有两个交点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 是 $C$ 外的一点，过 $P$ 的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 均与 $C$ 相切，且 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的斜率之积为 $m (- 1 \leq m \leq - \frac{1}{2})$ ，记 $u$ 为 $| P O |$ 的最小值，求 $u$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln^{2} x + 2 x (1 - \ln x)$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = e^{2} f (x) - 2 a^{2}$ 有且仅有3个零点，求a的取值范围.（其中常数 $e = 2.71828$ …，是自然对数的底数）

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