甘肃省2020-2021学年高三理数第一次高考诊断试卷
试卷更新日期:2021-03-25 类型:高考模拟
一、单选题
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1. 已知集合 , ,则 ( )A、 B、 C、 D、
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2. 若复数 满足 ,则 的共轭复数是( )A、 B、 C、 D、
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3. 抛物线 的准线经过椭圆 的右焦点,则 ( )A、2 B、4 C、8 D、12
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4. 甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次,中靶环数情况如图所示.则甲、乙两人中靶环数的方差分别为( )A、7,7 B、7,1.2 C、1.1,2.3 D、1.2,5.4
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5. 已知函数 ,则 ( )A、是奇函数,且在 单调递减 B、是奇函数,且在 单调递增 C、是偶函数,且在 单调递减 D、是偶函数,且在 单调递增
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6. 已知 , 表示两条不同直线, , 表示两个不同平面.设有四个命题: :若 , ,则 ; :若 , ,则 ; :若 , ,则 ; :若 , ,则 .则下列复合命题中为真命题的是( )A、 B、 C、 D、
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7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为( )A、 B、 C、 D、
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8. 已知 是第四象限角,且 ,则 ( )A、 B、 C、 D、
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9. 圆 上任意一点 到直线 的距离大于 的概率为( )A、 B、 C、 D、
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10. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器,它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”,是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器,以礼天地四方,以苍璧礼天,以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮,该玉琮中方内空,形状对称,圆筒内径 ,外径 ,筒高 ,方高 ,则其体积约为(单位: )( )A、 B、 C、 D、
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11. 在 中, , ,则 的面积的最大值为( )A、 B、1 C、 D、
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12. 设实数 ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则 的最小值为( )A、 B、 C、 D、
二、填空题
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13. 设 , , ,则 , , 的大小关系是 . (按照从大到小的顺序排列)
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14. 已知向量 与向量 夹角为 ,且 , ,要使 与 垂直,则 .
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15. 展开式中 的系数为 .
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16. 函数 , ,有下列命题:
① 的表达式可改写为 ;
②直线 是函数 图象的一条对称轴;
③函数 的图象可以由函数 的图象向右平移 个单位长度得到;
④满足 的 的取值范围是 .
其中正确的命题序号是 . (注:把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题
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17. 已知数列 的前 项和为 ,且 , .(1)、求 ;(2)、设 ,求使得 成立的最小正整数 .
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18. 2020年10月,中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》,某地积极开展中小学健康促进行动,发挥以体育智、以体育心功能,决定在2021年体育中考中再增加一定的分数,规定:考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试,其中一分钟跳绳满分20分.学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况,随机抽取了100名学生测试,其成绩均在 间,并得到如图所示频率分布直方图,计分规则如下表:
一分钟跳绳个数
得分
16
17
18
19
20
(1)、补全频率分布直方图,并根据频率分布直方图估计样本中位数;(2)、若两人可组成一个小队,并且两人得分之和小于35分,则称该小队为“潜力队”,用频率估计概率,求从进行测试的100名学生中任意选取2人,恰好选到“潜力队”的概率. -
19. 如图,在四棱锥 中,底面 为梯形, , , , ,平面 平面 , 为棱 上一点.(1)、在平面 内能否作一条直线与平面 垂直?若能,请画出直线并加以证明;若不能,请说明理由;(2)、若 时,求直线 与平面 所成角的正弦值.
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20. 已知椭圆 的焦距为 ,且经过点 .(1)、求椭圆 的方程;(2)、设椭圆 上存在两点 , ,使得 的斜率与 的斜率之和为-1,直线 是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.
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21. 已知函数 .(1)、求函数 的单调区间;(2)、设函数 ,若 在 上有两个零点,求实数 的取值范围.
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22. 在平面直角坐标系 中,已知点 的坐标为 ,直线 的方程为: (其中 为参数).以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为: .(1)、将直线 的方程化为普通方程,曲线 的方程化为直角坐标方程;(2)、若直线 过点 且交曲线 于 , 两点,设线段 的中点为 ,求 .
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23. 已知函数 , .(1)、若 , ,解不等式 ;(2)、当 , 时, 的最大值是 ,证明: .