广东省韶关市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 命题 $p$ ： $x^{2} - x - 2 < 0$ 是命题 $q$ ： $0 < x < 1$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. $△ A B C$ 中，点 $M$ 为 $A C$ 上的点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ - μ$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 人的心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 $120 / 80 mmHg$ 为标准值.设某人的血压满足函数式 $p (t) = 101 + 25 \sin (16 π t)$ ，其中 $p (t)$ 为血压(单位： $mmHg$ )， $t$ 为时间(单位： $\min$ )，则下列说法正确的是（）

A、收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B、收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C、收缩压高于标准值，舒张压低于标准值 D、收缩压低于标准值，舒张压高于标准值

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5. 假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是 $\frac{16}{25}$ ，则该射手每次射击的命中率为（）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 已知 ${(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} (2 + x) + a_{2} {(2 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} {(2 + x)}^{10}$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、-10 B、10 C、-45 D、45

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7. 设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为底面正方形 $A B C D$ 内的一动点，若三角形 $A P C_{1}$ 的面积 $S = \frac{1}{2}$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、圆的一部分 B、双曲线的一部分 C、抛物线的一部分 D、椭圆的一部分

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8. 已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ，若 $a = f (\log_{4} \frac{1}{5})$ ， $b = f (\log_{5} 6)$ ， $c = f (\log_{6} 4)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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二、多选题

9. 设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左､右焦点，焦距为 $2 c (c > 0)$ ，若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 是直角，则（）

A、 $| O P | = c$ ( $O$ 为原点) B、 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = b^{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆半径 $r = a - c$ D、 ${| P F_{1} |}_{\max} = a + c$

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10. 如图所示，点 $P$ 是函数 $f (x) = \frac{π}{2} \sin (ω x + φ)$ ( $x \in R$ ， $ω > 0$ )图象的最高点， $M$ ､ $N$ 是图象与 $x$ 轴的交点，若 $M (- \frac{π}{6} ， 0)$ ，且 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，则（）

A、 $N (\frac{2 π}{3} ， 0)$ B、 $ω = 1$ C、 $P (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ D、 $φ = \frac{2 π}{3}$

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11. 设 $a$ ， $b$ 为正数，若直线 $a x - b y + 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0$ 截得弦长为4，则（）

A、 $a + b = 1$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $a b \leq \frac{1}{8}$ D、 $\frac{a + 2 b}{a b} \geq 9$

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12. 如图三棱锥 $P - A B C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，已知 $△ P B C$ 是等腰三角形， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，若 $A B = B C = 2$ ， $P B = P C = \sqrt{5}$ ，球 $O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的外接球，则（）

A、球心到平面 $P B C$ 的距离是 $\frac{3}{2}$ B、球心到平面 $A B C$ 的距离是 $\frac{3}{4}$ C、球的表面积是 $\frac{41}{4} π$ D、球的体积是 $\frac{\sqrt{741}}{3} π$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | y = \log_{2} (2 - x)}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ (结果用区间或集合表示).

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14. 现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里.机构 $A$ ， $B$ 各负责一个产品，机构 $C$ 负责余下的三个产品，其中产品①不在 $A$ 机构测试的情况有种(结果用具体数字表示).

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15. 若曲线 $C_{1} : y = a x^{2} (a > 0)$ 与曲线 $C_{2} : y = e^{x}$ 存在公共切线，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{6} + a_{7} = 1$ ，则 $S_{12} =$ ，若 $a_{7} < 0$ ，则使得不等式 $S_{n} < 0$ 成立的最小整数 $n =$ .

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四、解答题

17. 在① $\cos C + (\cos A - \sqrt{3} \sin A) \cos B = 0$ ，② $\cos 2 B - 3 \cos (A + C) = 1$ ，③ $b \cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B = a$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 对应的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a + c = 1$ ， ▲ ，求角 $B$ 的值和 $b$ 的最小值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $C D P$ ，已知 $P A = 3$ ， $P D = 4$ .

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 中点，求证： $P B //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - n^{2} + k n$ ( $k \in N^{*}$ )，且 $S_{n}$ 的最大值为25.

(1)、求 $k$ 的值及通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${n \cdot 2^{a_{n} - 11}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：

得分	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	2	13	21	25	24	11	4

(1)、由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分

ξ \sim N (μ, 196)

，

μ

近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).

①求 $μ$ 的值；

②若 $P (ξ > 2 a - 5) = P (ξ < a + 3)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于 $μ$ 的可以获赠2次随机话费，得分低于 $μ$ 的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额(单位：元)	20	50
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$

现有市民甲参加此次问卷调查，记 $X$ (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是 $F$ ，若过焦点的直线与 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，所得弦长 $| P Q |$ 的最小值为4.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上两个不同的动点， $O$ 为坐标原点，若 $O A ⊥ O B$ ， $O M ⊥ A B$ ， $M$ 为垂足，证明：存在定点 $N$ ，使得 $| M N |$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，方程 $a e^{a x} - 2 f (x) = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{a x_{1}} + \frac{1}{a x_{2}} > 1$ .

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