福建省漳州市2021届高三毕业班下学期数学第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | \log_{2} x < 3}$ ， $B = {x | x \geq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${4 ， 5 ， 6 ， 7}$ B、 ${4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ C、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 1 + i^{2021}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{3 - i}{5}$ B、 $\frac{3 + i}{5}$ C、 $\frac{- 3 - i}{5}$ D、 $\frac{- 3 + i}{5}$

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \leq 50 \\ 3 x + 4 y \leq 120 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 4 x + 3 y$ 的最大值为（）

A、90 B、100 C、118 D、150

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (k ， 5)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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5. 已知 $a^{2} - 3 a + 2 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ ： $a x + (3 - a) y - a = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $(6 - 2 a) x + (3 a - 5) y - 4 + a = 0$ 的位置关系为（）

A、垂直或平行 B、垂直或相交 C、平行或相交 D、垂直或重合

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6. 函数 $y = \frac{x^{1010}}{\sqrt{x^{2020} + 1}}$ 的图象可能是下图中的（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $\sin (θ - \frac{3 π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin 2 θ \tan θ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f' (x) - f (x) > 0$ ， $f (2021) = e^{2021}$ ，则不等式 $f (\frac{1}{3} \ln x) < \sqrt[3]{x}$ 的解集为（）

A、 $(e^{6063} ， + \infty)$ B、 $(0 ， e^{2021})$ C、 $(e^{2021} ， + \infty)$ D、 $(0 ， e^{6063})$

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二、多选题

9. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}$ 和 $a_{6}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - b x + 4 = 0$ 的两个根，下列说法正确的是（）

A、实数 $b$ 的取值范围是 $b \leq - 4$ 或 $b \geq 4$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前7项和为 $4 b$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列且 $b > 0$ ，则 $a_{4} = \pm 2$ D、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列且 $b > 0$ ，则 $a_{2} + a_{6}$ 的最小值为4

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10. 已知在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 3$ ， $A B = 2$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，下面结论正确的有（）

A、 $P C ⊥ A B$ B、平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ C、 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成的角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的半径为 $\sqrt{5}$

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11. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > 0 ， b_{1} > 0)$ 的一条渐近线的方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，且过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，椭圆 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦距与双曲线 $C_{1}$ 的焦距相同，且椭圆 $C_{2}$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $C_{2}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $A (1 ， y_{1})$ ，则下列说法中正确的有（）

A、双曲线 $C_{1}$ 的离心率为2 B、双曲线 $C_{1}$ 的实轴长为 $\frac{1}{2}$ C、点 $B$ 的横坐标的取值范围为 $(- 2 ， - 1)$ D、点 $B$ 的横坐标的取值范围为 $(- 3 ， - 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω \in N)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 和 $[\frac{7 π}{4} ， \frac{25 π}{12}]$ 上单调递增，下列说法中正确的是（）

A、 $ω$ 的最大值为3 B、方程 $f (x) = \log_{2 π} x$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上至多有5个根 C、存在 $ω$ 和 $φ$ 使 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 为偶函数 D、存在 $ω$ 和 $φ$ 使 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 为奇函数

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三、填空题

13. 已知二项式 ${(2 x \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为.

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14. 2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是.

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $A B = 1$ ， $B C = 1$ ， $A D = 2$ .取 $A D$ 的中点 $E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，使二面角 $A - B E - C$ 为 $120 °$ ，则四棱锥 $A - B C D E$ 的体积为.

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16. 定义关于 $x$ 的曲线 $f (a ， b ， c) = a x^{2} + b x + c$ ，则与曲线 $f (1 ， 2 ， 0)$ 和 $f (- 1 ， 2 ， 0)$ 都相切的直线 $l$ 的方程为， $F (x) = {\begin{array}{l} f (- 1 ， 2 a ， - 2 a) ， x > 0 \\ f (1 ， 2 a ， a) ， x \leq 0 \end{array}$ ，已知 $a > 0$ ，若关于 $x$ 的方程 $F (x) = f (0 ， a ， 0)$ 有三个不同的实根，则 $a =$ .

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四、解答题

17. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{2} = 9 a_{1} - 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 3 a_{1}$ .

(1)、若等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{i} = a_{i} (i = 1 ， 2)$ ，求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} =$ ▲ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
在① $\frac{4}{b_{n} b_{n + 1}} + 1$ ；② $\frac{2 n}{(b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots b_{n - 1} + b_{n}) (n + 1)}$ ；③ $\frac{3^{n}}{S_{n} S_{n + 1}}$ 这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.

注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.

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18. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = c \cos B + \frac{1}{2} b$ .

(1)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边上一点， $D B = 4$ ， $A B = 5$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} = - 12$ ，求 $A C$ .

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19. 如图，四边形 $B E D C$ 为正方形， $A E ⊥ B E$ ， $A E = B E$ ， $△ A D E$ 为锐角三角形， $M$ ， $N$ 分别是边 $D E$ ， $B E$ 的中点，直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求证： $D N ⊥$ 平面 $A C M$ ；

(2)、若 $△ A D E$ 为锐角三角形，求二面角 $M - A C - B$ 的余弦值.

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20. 为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 $\frac{1}{3}$ ，答错的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若甲在回答过程中出现在第 $i (i \geq 2)$ 个等级的概率为 $P_{i}$ ，证明： ${P_{i} - P_{i - 1}}$ 为等比数列.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = \frac{5}{2} x^{2} + (a - 2) x + 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = 0$ 至少有两个不相等的实根，求 $a$ 的最大值.

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22. 已知直线 $l$ ： $2 x - y - 4 = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\vec{O F} = \vec{F E}$ ，其中 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $Ω$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点.

(1)、求拋物线 $Ω$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $Ω$ 相交于 $P$ ， $B$ 两点( $P$ 在第一象限)，直线 $P A$ ， $P C$ 分别与抛物线相交于 $A$ ， $C$ 两点（ $A ， C$ 在 $P$ 的两侧），与 $x$ 轴交于 $D$ ， $G$ 两点，且 $E$ 为 $D G$ 中点，设直线 $P A$ ， $P C$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 为定值；

(3)、在（2）的条件下，求 $△ P B C$ 的面积的取值范围.

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