广东省梅州市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $i$ 是虚数单位，若复数 $z (1 + i) = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} \leq 1}$ ， $B = {x | (x - 2) (x - 4) > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \leq 0}$ B、 ${x | 2 < x < 4}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2$ 或 $x \geq 4}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2$ 或 $x > 4}$

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3. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）

A、5000元 B、5500元 C、6000元 D、6500元

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4. 若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 1, (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}, (2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b},$ 则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 与的图象的一条对称轴，为了得到函数 $y = f (x)$ 的图象，可把函数 $y = sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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6. $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $P F = 4 \sqrt{2}$ ，则 $△ P O F$ 的面积为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}$ ，若不等式 $f (1 - a x) < f (2 + x^{2})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 \sqrt{3} ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2 \sqrt{3})$ C、 $(- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ D、 $(- 2 ， 2)$

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8. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot}$ 重新编辑，编辑新序列为 $A^{*} = {\frac{a_{2}}{a_{1}}, \frac{a_{3}}{a_{2}}, \frac{a_{4}}{a_{3}}, \cdot \cdot \cdot}$ ，它的第 $n$ 项为 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，若序列 ${(A^{*})}^{*}$ 的所有项都是2，且 $a_{5} = 1$ ， $a_{6} = 32$ ，则 $a_{1}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{512}$ C、 $\frac{1}{1024}$ D、 $\frac{1}{2048}$

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二、多选题

9. 若 $10^{a} = 4$ ， $10^{b} = 25$ ，则（）

A、 $a + b = 2$ B、 $b - a = 1$ C、 $a b > 8 \lg^{2} 2$ D、 $b - a > \lg 6$

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10. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）

A、设 $A$ 、 $B$ 为两个定点， $k$ 为非零常数， $| \vec{P A} | - | \vec{P B} | = k$ ，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线 B、设定圆 $C$ 上一定点 $A$ 作圆的动弦 $A B$ ， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，则动点 $P$ 的轨迹为椭圆 C、方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动时，下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、直线 $A P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的大小不变 C、直线 $A P$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角的大小不变 D、二面角 $P - A D_{1} - C$ 的大小不变

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12. 某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）

第1节	第2节	第3节	第4节
地理1班	化学A层3班	地理2班	化学A层4班
生物A层1班	化学B层2班	生物B层2班	历史B层1班
物理A层1班	生物A层3班	物理A层2班	生物A层4班
物理B层2班	生物B层1班	物理B层1班	物理A层4班
政治1班	物理A层3班	政治2班	政治3班

A、此人有4种选课方式 B、此人有5种选课方式 C、自习不可能安排在第2节 D、自习可安排在4节课中的任一节

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三、填空题

13. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan α = 2$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{4}) =$ .

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14. 设曲线 $y = e^{x}$ 在点（0，1）处的切线与曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 上点 $Ρ$ 处的切线垂直，则 $Ρ$ 的坐标为．

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15. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田碸 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢 $\times$ 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦 $A B$ 等于6米，其弧田弧所在圆为圆 $O$ ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 $\frac{7}{2}$ 平方米，则 $\sin ∠ A O B =$ .

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16. 已知球 $O$ 是三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $P A = A B = P B = A C = 2$ ， $C P = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $P B$ 的中点，且 $C D = \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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四、解答题

17. 在① $\cos 2 B - \sqrt{3} \sin B + 2 = 0$ ，② $2 b \cos C = 2 a - c$ ，③ $\frac{b}{a} = \frac{\cos B + 1}{\sqrt{3} \sin A}$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 $Δ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________，且a，b，c成等差数列，则 $Δ A B C$ 是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n + 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n} - n$ ．

(1)、证明数列 ${a_{n} - n}$ 为等比数列并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{a_{n} - n}{(b_{n} + 1) (b_{n + 1} + 1)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点．把 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ．

（Ⅰ）求证： $A D ⊥ B E$ ；

（Ⅱ）求 $B D$ 所在直线与平面 $D E C$ 所成角的正弦值．

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20. 某电子产品加工厂购买配件 $M$ 并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件 $M$ ，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ，丙部门检修合格的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求该工厂购买的任一配件 $M$ 可以进入市场销售的概率．

(2)、已知配件 $M$ 的购买价格为80元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为8元/个，丙部门的检修成本为 $16$ 元个，若配件 $M$ 加工成型进入市场销售，售价可达200元/个；若配件 $M$ 报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件 $M$ 的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件 $M$ 的利润．（利润 $=$ 售价 $-$ 购买价格 $-$ 加工成本）

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21. 给定椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），称圆心在原点 $O$ ，半径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 圆是椭圆 $C$ 的“卫星圆”.若椭圆 $C$ 的一个焦点为 $F (- 2 ， 0)$ ，点 $O (2 ， \sqrt{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和其“卫星圆”方程；

(2)、点 $P$ 是椭圆 $C$ 的“卫星圆”上的一个动点，过点 $P$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与椭圆 $C$ 都只有一个交点，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交其“卫星圆”于点 $M$ ， $N$ .试探究： $| M N |$ 的长是否为定值？若为定值，写出证明过程；若不是，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = e^{x}$ .

(1)、若 $h (x) = a f (x) + \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x$ ， $a \in R$ ，求函数 $h (x)$ 的单调区间；

(2)、不等式 $m [g^{m} (x) + 1] \geq 2 (x + \frac{1}{x}) f (x)$ 对于 $x > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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