福建省名校联盟优质校2021届高三大联考数学试题

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 14 < 0}, B = {x | 5 x - 10 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 7}$ B、 ${x | 2 < x < 7}$ C、 ${x | x < 7}$ D、 ${x | x > - 2}$

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2. 若 $i z = - 3 + 2 i$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则复数 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $α$ 是第四象限的角， $\cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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4. 一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面､椭球面､单叶双曲面和双曲抛物面､比如，中心在原点的椭球面的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0 ， c > 0)$ ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状(如图 $1$ )，若某建筑准备采用半椭球面设计(如图 $2$ )，半椭球面方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1 (z \geq 0)$ ，该建筑设计图纸的比例(长度比)为 $1 ： 50$ (单位： $m$ )，则该建筑的占地面积为（）

A、 $4000 π m^{2}$ B、 $6000 π m^{2}$ C、 $8000 π m^{2}$ D、 $10000 π m^{2}$

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5. 若 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b} < 1$ ，则下列各式中一定成立的是（）

A、 $\ln (a - b) > 0$ B、 $2^{b - a} > 1$ C、 $- \frac{1}{a} > - \frac{1}{b}$ D、 $\log_{c} a > \log_{c} b (c > 0$ 且 $c \neq 1)$

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6. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面向量，满足 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | \leq 1$ ，且 $| 3 \vec{b} - 2 \vec{a} | \leq 2$ ，记 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{11}{16}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{16}$

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7. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为 $\frac{1}{3}$ ，投中壶耳的概率为 $\frac{1}{5}$ .四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（）

A、 $\frac{13}{75}$ B、 $\frac{3}{75}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{8}{75}$

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8. 已知定义 $R$ 在上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f (- x) - 2 \sin x$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) + \cos x > 0$ ，则不等式 $f (x + \frac{π}{2}) > f (x) + \sin x - \cos x$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{π}{4})$ D、 $(- \frac{π}{4} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知直线 $y = x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 无公共点，则双曲线离心率可能为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x^{2} + y^{2} \geq 2$ ”是“ $x \geq 1$ 且 $y \geq 1$ ”的必要不充分条件 B、 $α = \frac{π}{2}$ 是“ $\cos α = 0$ ”的充要条件 C、“ $x \neq 3$ ”是“ $| x | \neq 3$ ”成立的充要条件 D、设 $θ \in R$ ，则 “ $| θ - \frac{π}{12} | < \frac{π}{12}$ ”是“ $\sin θ < \frac{1}{2}$ ”的充分而不必要条件

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11. 已知函数 $f (x) = | 1 - 2 s i n 2 x |$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称. C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递增 D、方程 $f (x) = 1$ 在 $[- π ， π]$ 上有7个不同的实根

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12. 如图所示，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过对角线 $B D_{1}$ 的一个平面交棱 $A A_{1}$ 于点 $E$ ，交棱 $C C_{1}$ 于点 $F$ ，得四边形 $B F D_{1} E$ ，在以下结论中，正确的是（）

A、四边形 $B F D_{1} E$ 有可能是梯形 B、四边形 $B F D_{1} E$ 在底面 $A B C D$ 内的投影一定是正方形 C、四边形 $B F D_{1} E$ 有可能垂直于平面 $B B_{1} D_{1} D$ D、四边形 $B F D_{1} E$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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三、填空题

13. 春节文艺汇演中需要将 $A, B, C, D, E, F$ 六个节目进行排序，若 $A, B$ 两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有种.(用数字作答)

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, S_{n} = n^{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 若函数 $f (x)$ 称为“准奇函数”，则必存在常数 $a, b$ ，使得对定义域内的任意 $x$ 值，均有 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ，请写出一个 $a = 2, b = 2$ 的“准奇函数”(填写解析式)：.

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16. 已知不过原点的动直线 $l$ 交抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，若 $△ O A B$ 的面积的最小值为 $64$ ，则 $p =$ ；直线 $l$ 过定点，该定点的坐标为.

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ，
$a_{2} = a_{3} - b_{3}$ ， $a_{3} = S_{3} + b_{2} .$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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18. 在① $tan B = 2 tan C$ ，② $3 b^{2} - a^{2} = 12$ ，③ $b \cos C = 2 c \cos B$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.
问题：已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 及其对边 $a, b, c$ ，若 $c = 2$ ，且满足___________.求 $Δ A B C$ 的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

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19. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和国民法典》知识竞赛，从中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格：

成绩

性别

$[0, 60]$

$[60, 70]$

$[70, 80]$

$[80, 90]$

$[90, 100]$

男

女

规定成绩在 $[90, 100]$ 内的学生获优秀奖.

附：

$P (K^{2} \geq k)$	0.1	0.01	0.001
$k$	2.706	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n (a d - b c^{2})}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} .$

(1)、根据以上成绩统计，判断是否有

90 %

的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？

(2)、在抽取的100名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取3人进行座谈，记

X

为抽到获优秀奖的女生人数，求

X

的分布列和数学期望.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $4$ 的菱形， $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $P C = 4$ ，点 $M$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $C M ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、线段 $C D$ 上是否存在一点 $N$ ，使得直线 $P N$ 与平面 $P M D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ ，若存在，求出的 $\frac{C N}{N D}$ 值，若不存在，请说明理由.

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21. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ， $P (\frac{1}{2} ， \frac{3 \sqrt{5}}{4})$ 在 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $E ， F$ 设为短轴端点，过 $M (0 ， 1)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点(异于 $E ， F$ )，直线 $A E 、 B F$ 交于点 $T$ .求证：点 $T$ 恒在一定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} + m x + 2$ .

(1)、若 $x$ 轴为曲线 $y = f (x)$ 的切线，试求实数 $m$ 的值；

(2)、已知 $g (x) = f (x) - e^{x}$ ，若对任意实数 $x$ ，均有 $g (e^{x + 1}) ⩾ g (x)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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