广东省揭阳市2021届高三下学期数学教学质量测试试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | 2 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 4}$ C、 ${x | 2 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 1 < x \leq 4}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = \frac{4 - 2 i}{1 + 2 i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、-2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

查看试题解析
3. 某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（）

A、6种 B、12种 C、24种 D、32种

查看试题解析
4. 科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段 $A B$ 等分为 $A C$ ， $C D$ ， $D B$ ，如图2以 $C D$ 为底向外作等边三角形 $C M D$ ，并去掉线段 $C D$ .在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线.设线段 $A B$ 的长度为1，则图3曲线的长度为（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{64}{27}$ D、3

查看试题解析
5. 中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）

A、 $\frac{1}{35}$ B、 $\frac{1}{70}$ C、 $\frac{1}{840}$ D、 $\frac{1}{1680}$

查看试题解析
6. 在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量 $y$ （单位：毫克）随时间 $t$ （单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过程中， $y$ 与 $t$ 成正比；药物释放完毕后， $y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y = 10^{a - t}$ （ $a$ 为常数）.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（）（参考数值 $\lg 2 \approx 0.30103$ ）

A、42分钟后 B、48分钟后 C、50分钟后 D、60分钟后

查看试题解析
7. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，且满足 $2 A M + A N = 1$ ，设 $\vec{A C} = x \vec{A M} + y \vec{A N}$ ，则 $2 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、48 B、49 C、50 D、51

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，且对任意 $1 \leq x_{1} < x_{2}$ 均有 $(x_{1} - x_{2}) \cdot [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，则满足 $f (2 x - 1) - f (3 - x) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{2}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, + \infty)$ C、 $[- 2, \frac{2}{3}]$ D、 $[0, \frac{4}{3}]$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知一组直线为 $x \pm 2 y = 0$ ，则以该组直线为渐近线的双曲线有（）

A、 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ B、 $4 y^{2} - x^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

查看试题解析
10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，且 $a_{5} = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{3} + a_{7} \geq 2$ B、 $a_{4} + a_{6} \geq 2$ C、 $a_{7} - 2 a_{6} + 1 \geq 0$ D、 $a_{3} - 2 a_{4} - 1 \geq 0$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ，已知 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有且仅有1个极大值点，则下列四个结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内有5个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 有2个极小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{10})$ 上单调递增 D、 $φ$ 可以取 $\frac{π}{2}$

查看试题解析
12. 如图，设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 上的一个动点，设由点 $A$ ， $E$ ， $F$ 构成的平面为 $α$ ，则（）

A、平面 $α$ 截正方体的截面可能是三角形 B、当点 $F$ 与点 $C_{1}$ 重合时，平面 $α$ 截正方体的截面面积为 $2 \sqrt{6}$ C、点 $D$ 到平面 $α$ 的距离的最大值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点时，平面 $α$ 截正方体的截面为五边形

查看试题解析

三、填空题

13. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为．

查看试题解析
14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = \cos \frac{2 (n - 1) π}{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前100项和为.

查看试题解析
15. 长为 $1 m$ 的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示（阴影为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 $A B = 2 dm$ ，弓形高 $C D = (20 - 10 \sqrt{3}) cm$ ，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为 ${cm}^{2}$ .

查看试题解析
16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a = 2$ ， $a^{2} = 2 b^{2} + c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $\sin C + \sqrt{3} \cos C = 2$ ，② $C = 2 A$ ，③ $b = 2 a$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $a$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(3 c - 2 b) \cos A = 2 a \cos B$ ， $c = 1$ ， ▲ ？

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} + a_{n} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = - \log_{3} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析

19. 太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：

日照情况	日均气温不低于15℃	日均气温低于15℃
日照充足	耗电0千瓦时	耗电5千瓦时
日照不足	耗电5千瓦时	耗电10千瓦时
日照严重不足	耗电15千瓦时	耗电20千瓦时

根据调查，当地每天日照充足的概率为 $\frac{2}{5}$ ，日照不足的概率为 $\frac{2}{5}$ ，日照严重不足的概率为 $\frac{1}{5}$ .2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为 $[5 ， 10)$ ， $[10 ， 15)$ ， $[15 ， 20)$ ， $[20 ， 25)$ ， $[25 ， 30)$ ， $[30 ， 35]$ .

(1)、求图中

a

的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；

(2)、用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）

查看试题解析

20. 如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A E ⊥ C D$ ， $B F ⊥ C D$ .将 $△ A D E$ 与 $△ B C F$ 分别绕 $A E$ ， $B F$ 旋转，使得点 $D$ ， $C$ 相交于一点，设为点 $P$ ，形成图2，且二面角 $P - A E - F$ 与二面角 $P - B F - E$ 都是45°.

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{2}$ ，且梯形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{2} + 1$ ，求二面角 $F - P B - A$ 的余弦值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - (x + m) \ln (x + m) + x$ ， $m \leq 2$ .

(1)、若直线 $l ： y = x + 1$ 是函数 $f (x)$ 的切线，求 $m$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $A (\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ .设椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点（异于椭圆 $C$ 的左、右端点）.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线 $l$ ，过点 $F_{1}$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，求 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积的最大值.

查看试题解析