东北三省四市教研联合体2021届高考文数模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 > 0}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 4}$ B、 ${x | x > 2$ 或 $x < - 1}$ C、 ${x | x > 4$ 或 $x < - 1}$ D、 ${x | x < - 1}$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = | 2 + i |$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2} i$

查看试题解析
3. 若 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{9}{25}$

查看试题解析
4. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \leq 0 ， \\ 4 x - y - 4 \geq 0 ， \\ x \leq 4 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、20 B、14 C、8 D、4

查看试题解析
5. 随着高中新课程改革的不断深入，数学高考试题的命题形式正在发生着变化，哈市某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题．每道多项选择题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．某同学遇到一道不会做的多选题，他只想选两个或三个选项，若答案恰为三个选项时，该同学做对此道题目的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{1}{11}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、16 D、24

查看试题解析
7. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $2 a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
8. $5 G$ 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的 $5 G$ 基站海拔6500米．从全国范围看，中国 $5 G$ 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 $\frac{1}{6}$ ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（）

A、 $\frac{10 \times 6^{8}}{6^{8} - 5^{8}}$ B、 $\frac{10 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ C、 $\frac{80 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ D、 $\frac{10 \times 6^{6}}{6^{8} - 5^{6}}$

查看试题解析
9. 在平面直角坐标系中，直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 为圆 $C$ 上的动点，则 $△ P A B$ 面积的最大值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

查看试题解析
10. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高为 $(15 \sqrt{3} - 15) m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B ， M ， D$ 三点共线）处测得楼顶 $A$ ，教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $15 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、 $20 m$ B、 $30 m$ C、 $20 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

查看试题解析
11. 如果对定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足对于任意两个不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“ $F$ 函数”，下列函数为“ $F$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = e^{- | x |}$ B、 $f (x) = \ln | x |$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = x | x |$

查看试题解析
12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ 点， $| M F_{1} | > | M F_{2} |$ ，且线段 $M F_{1}$ 的中点在另外一条渐近线上，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、2

查看试题解析

二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = - 2 x^{3} + x + 3$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

查看试题解析
14. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 4 | \vec{a} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) \cos φ + \cos (ω x + φ) \sin φ$ （其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象相邻的两个对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且满足 $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{π}{12} - x)$ ，则 $φ =$ ．

查看试题解析
16. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $E$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，且异面直线 $A D_{1}$ 与 $C E$ 所成的角是 $60 °$ ．则在此长方体的表面上，从 $A_{1}$ 到 $C$ 的路径中，最短路径的长度为．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 25$ ，且 $a_{3} - 1$ ， $a_{4} + 1$ ， $a_{7} + 3$ 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析

18. 奶茶是年轻人非常喜欢的饮品．某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性．针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的

200

人中女性人数是男性人数的

4

倍，统计如下：

	超过百元	未超过百元	合计
男	8
女		144
合计			200

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、完成如上

2 \times 2

列联表，并说明是否有

90 %

的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？

(2)、在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查．发现喜欢

A

品牌的男女均为3人，现从喜欢

A

品牌的这6人中抽取2人送纪念品，求这两人恰好都是女性的概率．

查看试题解析

19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B B_{1} = B C = 6$ ， $D ， E$ 分别是 $A A_{1}$ 和 $B_{1} C$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $D E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $D - E B C$ 的体积与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的比值．

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l$ ，过抛物线上一点 $B$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰好为抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，且 $| B F | = 4$ ．
（Ⅰ）求抛物线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ，过 $x$ 轴上的一个定点 $(1, 0)$ 的直线 $m$ 与抛物线 $C$ 交于 $D, E$ 两点．记直线 $A D, A E$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = \frac{1}{3}$ ，求直线 $m$ 的方程.

查看试题解析
21. 已知函数 $F (x) = \frac{\ln x}{x - 1} - \frac{a}{x + 1}$ ．
（Ⅰ）设函数 $h (x) = (x - 1) F (x)$ ，当 $a = 2$ 时，证明：当 $x > 1$ 时， $h (x) > 0$ ；

（Ⅱ）若 $F (x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知某曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．
（Ⅰ）若 $P (x, y)$ 是曲线 $C$ 上的任意一点，求 $x + 2 y$ 的最大值；

（Ⅱ）已知过 $C$ 的右焦点 $F$ ，且倾斜角为 $α (0 \leq α < \frac{π}{2})$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $D, E$ 两点，设线段 $D E$ 的中点为 $M$ ，当 $\frac{\sqrt{3}}{16} (\frac{1}{| F E |} + \frac{1}{| F D |}) = | F M |$ 时，求直线 $l$ 的普通方程．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x + 4 a |$ ．
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求不等式 $f (x) \leq 7$ 的解集；

（Ⅱ）对于任意的正实数 $m, n$ ，且 $3 m + n = 1$ ，若 $f (x) \geq \frac{m n}{m^{2} + n}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析