安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期文数第一次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 2 < x \leq 5}, B = {x | (x - 2) (x - 5) \leq 0}$ ，则A∩B=（）

A、{2，3，4} B、{2，3，4，5} C、 ${x | 2 \leq x \leq 5}$ D、{x|2<x<5}

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = - i$ (其中 $i$ 为虚数单位)则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 函数 $f (x) = \frac{3 x^{3}}{1 - 3^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 习近平总书记在安徽考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔.为了保护长江渔业资源和生物多样性，我市从2020年1月1号起全面实施长江禁渔10年的规定.某科研单位需要从长江中临灭绝的白豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种鱼中随机选出3种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、4

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的s=（）

A、 $\sqrt{2020} - 1$ B、 $\sqrt{2021} - 1$ C、 $2 \sqrt{2020} - 1$ D、 $2 \sqrt{2021} - 1$

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7. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为棱 $A D$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则 $B_{1} P$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间[0， $\frac{π}{2}$ ]上单调递增 B、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、图象关于( $\frac{π}{4}$ ，0)对称

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9. 已知直线 $l$ 过抛物线y²=4x的焦点F，并与抛物线交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则线段AB的长为（）

A、 $\frac{25}{3}$ B、 $\frac{49}{6}$ C、 $\frac{43}{6}$ D、 $\frac{25}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a \ln x$ 的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln 2$ B、 $\frac{1}{4} + \ln 2$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln 2$ D、1

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11. 设F₁ ， F₂分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过F₂作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF₁|=3|HF₂|，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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12. 已知数列{a_n}满足 $a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} + 1$ ，且a₁=1，a₂=5，则 $a_{18} =$ （）

A、69 B、105 C、204 D、205

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二、填空题

13. 某班级为了解本班49名学生的体质健康状况，将这些学生编号为1，2，3，…，49，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取7名学生进行体质健康测试.若32号学生被抽到，则在8-14号学生中被抽到的是号.

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14. 设实数 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - 4 y - 7 \leq 0 \\ x - 2 y + 1 \geq 0 \\ x + 2 y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最大值为.

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15. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且 $a_{n + 1} + λ = 3 S_{n}, a_{3} = 12$ ，则实数 $λ$ 的值为

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16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，则过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A B C$ 的外接球所得截面的面积最小值为

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三、解答题

17. 天气寒冷，加热手套比较畅销，某商家为了解某种加热手套如何定价可以获得最大利润，现对这种加热手套进行试销售，统计后得到其单价x(单位;元)与销量y(单位:副)的相关数据如下表：

单价x（元）

80

85

90

95

100

销量y（副）

140

130

110

90

80

附:对于一组数据(x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，…，(x_n ， y_n)，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x},$

参考数据: $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 48700 \cdot \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 40750$

(1)、已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;

(2)、若每副该加热手套的成本为65元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大?(结果保留到整数)

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \sin 2 B = \sqrt{3} b \sin C$ .

(1)、若 $\cos 2 A + 3 \cos A - 2 \sin B = 0$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，BE，CD为圆柱的母线， $△ A B C$ 是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点.

(1)、证明：平面AEM⊥平面BCDE；

(2)、设BC=BE，圆柱的体积为 $8 \sqrt{3} π$ ，求四棱锥A-BCDE的体积.

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20. 已知点 $A$ 在圆 $C : {(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 16$ 上， $B (- \sqrt{2}, 0)$ ， $P (0, \sqrt{2})$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线与 $A C$ 相交于点 $D$ .

(1)、求动点 $D$ 的轨迹方程;

(2)、若过点 $Q (0, - 1)$ 的直线 $l$ 斜率存在，且直线 $l$ 与动点 $D$ 的轨迹相交于 $M$ ， $N$ 两点.证明：直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率之积为定值.

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21. 已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x) = 2 e^{x - 1} - a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上恰有三个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + 2 \\ y = - t + 4 \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} (2 - \cos 2 θ) = 3.$

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、求 $C_{2}$ 上的动点到 $C_{1}$ 距离的取值范围.

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23. 已知函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.

(1)、求不等式f(x)≥6的解集;

(2)、若 $f (x) \geq m + \frac{2}{m}$ 对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围.

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单价x（元）	80	85	90	95	100
销量y（副）	140	130	110	90	80