广东省广州市天河区2021届高考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $P = {x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 1}$ ， $Q = {y ∣ y = x^{2} + 2 x}$ ，则 $P \cup (∁_{R} Q) =$ （）

A、 $[- 3 ， - 1)$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 1]$ D、 $(- \infty ， 1]$

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，且 $(1 + i) z = i^{3}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

查看试题解析
3. 设 $θ \in R$ ，则“ $\sin θ < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“ $0 < θ < \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约 $10 %$ 的能量能够流到下一个营养级.在 $H_{1} \to H_{2} \to H_{3}$ 这个生物链中，若能使 $H_{3}$ 获得 $10 kJ$ 的能量，则需 $H_{1}$ 提供的能量为（）

A、 $10^{5} kJ$ B、 $10^{4} kJ$ C、 $10^{3} kJ$ D、 $10^{2} kJ$

查看试题解析
5. 在某次数学测试中，学生成绩 $ξ$ 服从正态分布 $(100, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $ξ$ 在 $(80, 120)$ 内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（）

A、0.16 B、0.24 C、0.32 D、0.48

查看试题解析
6. 已知 $a = \log_{4} 3$ ， $b = \log_{5} 3$ ， $c = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
7. 天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（）

A、54种 B、60种 C、72种 D、96种

查看试题解析
8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右顶点分别是 $A$ ， $B$ ，右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 上，当 $△ A B P$ 的外接圆面积达到最小时，点 $P$ 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

查看试题解析

二、多选题

9. 设向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) ∥ \vec{a}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin (π + x) \cos x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 2]$ D、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到函数 $y = f (x)$ 的图象

查看试题解析
11. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点.则（）

A、 $A_{1} E ⊥ D F$ B、点 $A_{1}$ ､ $E$ ､ $F$ ､ $C_{1}$ 四点共面 C、直线 $C_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ D、三棱锥 $E - C_{1} D F$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) = 2 \sin x$ ，且当 $x ⩾ 0$ 时， $f^{'} (x) > 1$ .若 $f (t) - f (\frac{π}{2} - t) ⩽ \sin t - \cos t$ ，则实数 $t$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则 $| A B |$ 等于.

查看试题解析
14. 写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项 $a_{n} =$ .

查看试题解析
15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = 2$ ， $P B = P C$ ， $P A = \sqrt{14}$ ， $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆的圆心， $\cos ∠ P A O_{1} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x + a}$ ，且 $f^{'} (1) = 1$ ，则 $a =$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{1}}{1} + \frac{a_{2}}{2} + \dots \frac{a_{n - 1}}{n - 1} + \frac{a_{n}}{n} = n (n ⩾ 2)$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1}$ ， $a_{k}$ ， $S_{k + 2}$ 成等比数列， $k \in N^{*}$ ，求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots \dots + \frac{1}{S_{k^{2}}}$ 的值.

查看试题解析
18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $C D = 3 \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{7}$ ， $\cos ∠ C B D = - \frac{\sqrt{7}}{14}$ .

(1)、求 $∠ B D C$ ；

(2)、若 $∠ A = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B D$ 周长的最大值.

查看试题解析

19. 某市场研究人员为了了解共享单车运营公司

M

的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.

参考公式及数据：回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 371$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91$

(1)、月市场占有率

y

与月份代码

x

符合线性回归模型拟合的关系，求

y

关于

x

的线性回归方程，并预测

M

公司2021年3月份(即

x = 10

时)的市场占有率；

(2)、为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的

A ， B

两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

报废年限	1年	2年	3年	4年
$A$ 型车(辆)	20	35	35	10
$B$ 型车(辆)	10	30	40	20

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是 $M$ 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

查看试题解析

20. 如图1，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ . $E$ 为线段 $C D$ 上的点，且 $C E = C B = 3$ .将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 折起，得到四棱锥 $C_{1} - A B E D$ (如图2)，使得 $C_{1} A = C_{1} B$ .

(1)、求证：平面 $A C_{1} D ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - D E - A$ 的余弦值.

查看试题解析
21. 设 $O$ 为坐标原点，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为直线 $x = \sqrt{2} a$ 上一点， $△ F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形.

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、若 $F_{2} (1 ， 0)$ ，设不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 过椭圆 $E$ 的右焦点 $F_{2}$ ，与椭圆 $E$ 相交于 $A$ ､ $B$ 两点，与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相交于 $C$ ､ $D$ 两点，求 $| A B | \cdot | C D |^{2}$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \ln (x + 1) - \cos x$ ，则是否存在实数 $a$ ，使得函数 $g (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值？若存在，求出 $a$ 值；若不存在，说明理由.

查看试题解析