安徽省江南十校2021届高三下学期文数3月一模联考试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合A={x|x²-5x-6>0}，集合B={x|4<x≤7}，则A∪B=（）

A、(6，7] B、(4，7] C、(-∞，-1)∪(4，+∞) D、(-∞，2)∪(3，+∞)

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2. 已知复数 $z = 1 + i$ ， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，若 $\bar{z}$ ·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{7}$

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4. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系， $O O_{1}$ ， $O O_{2}$ ， $O O_{3}$ ， $O O_{4}$ 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线， $α \approx 16^{\circ}$ ，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）

A、0° B、1° C、2° D、3°

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5. 函数 $f (x) = \frac{x \cos x}{2^{| x |}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $△ M N F_{2}$ 的周长为 $8$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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7. 设 $a$ 、 $b$ 两条直线，则 $a // b$ 的充要条件是（）

A、 $a$ 、 $b$ 与同一个平面所成角相等 B、 $a$ 、 $b$ 垂直于同一条直线 C、 $a$ 、 $b$ 平行于同一个平面 D、 $a$ 、 $b$ 垂直于同一个平面

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8. 若直线y=kx与曲线(x- $\sqrt{3}$ )²+(|y|-1)²=1有交点，则k的取值范围是（）

A、[- $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ] B、[-1，1] C、[- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ] D、[- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ]

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9. 将数列{3ⁿ⁺¹}与{9^n-1}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则 $a_{10} =$ （）

A、3¹⁹ B、3²⁰ C、3²¹ D、3²²

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10. 已知 $f (x) = e^{| \ln x |}$ ，记 $a = f (1), b = f (\frac{2}{3}), c = f (2)$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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11. 如图，在 $△$ ABC中，∠BAC= $\frac{2 π}{3}$ ，点D在线段BC上，AD⊥AC， $\frac{B D}{C D} = \frac{1}{4}$ ，则sinC=（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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12. 当x>1时，函数y=(lnx)²+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（）

A、(-∞，e) B、(-∞， $\frac{e^{2} - 5}{2}$ ) C、(-∞， $\frac{4 \sqrt{e} - 5}{2}$ ) D、(-∞，e-2)

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则ω=.

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14. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为.

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15. 如图， $A ， F$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (a > 0)$ 的右顶点和右焦点，过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于 $H$ ，且 $H$ 在第一象限， $A ， F ， H$ 到同一条渐近线的距离分别为 $d_{1} ， d_{2} ， d_{3}$ ，且 $d_{1}$ 是 $d_{2}$ 和 $d_{3}$ 的等差中项，则 $C$ 的离心率为·

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16. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为 $1$ 的等边三角形， $A B = A C = A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，点 $M ， N ， P$ 分别在棱 $A B ， A C ， A D$ 上，平面 $M N P / /$ 平面 $B C D$ ，若 $\frac{A M}{M B} = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球被平面 $M N P$ 所截的截面面积为.

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三、解答题

17. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位： $kg$ )，并绘制频率分布直方图如下：

(1)、请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

(2)、一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)

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18. 已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足a₁=1， $a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 (a_{n + 1} + a_{n})$ .

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、记b_n= $\frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n.

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19. 已知菱形 $A B C D$ 边长为 $1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，以 $B D$ 为折痕把 $△ A B D$ 和 $△ C B D$ 折起，使点 $A$ 到达点 $E$ 的位置，点 $C$ 到达点 $F$ 的位置， $E$ ， $F$ 不重合.

(1)、求证： $B D ⊥ E F$ ；

(2)、若 $E F = \frac{3}{2}$ ，求点 $B$ 到平面 $D E F$ 的距离.

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20. 已知函数f(x)=a^x-ax(a>0且a≠1).

(1)、当a=e时，求函数f(x)的最值；

(2)、设g(x)是f(x)的导函数，讨论函数g(x)在区间(0，1)零点的个数.

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21. 已知动圆P与x轴相切且与圆x²+(y-2)²=4相外切，圆心P在x轴的上方，P点的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程；

(2)、已知E(4,2)，过点(0,4)作直线交曲线C于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线相交于D，当△ABE的面积S₁与△ABD的面积S₂之比 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 取最大值时，求直线AB的方程.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $[k - 1 + 3 \sin^{k} (\frac{k π}{4} + θ)] ρ^{k} = 4$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、当 $k = 2$ 时， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.

(1)、解不等式f(x)>x+2；

(2)、记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，证明： $\sqrt{\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} .$

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