安徽省江南十校2021届高三下学期理数3月一模联考试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合A={x|x²-5x-6>0}，集合B={x|4<x≤7}，则A∪B=（）

A、(6，7] B、(4，7] C、(-∞，-1)∪(4，+∞) D、(-∞，2)∪(3，+∞)

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2. 已知复数 $z = 1 + i$ ， $\bar{z}$ 是z的共轭复数，若 $\bar{z}$ ·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{7}$

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4. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系， $O O_{1}$ ， $O O_{2}$ ， $O O_{3}$ ， $O O_{4}$ 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线， $α \approx 16^{\circ}$ ，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）

A、0° B、1° C、2° D、3°

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5. 函数 $f (x) = \frac{x \cos x}{2^{| x |}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ -1 D、 $\sqrt{3}$ -1

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7. 现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（）

A、120 B、150 C、240 D、300

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8. 将数列{3n-1}与{2ⁿ+1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为（）

A、2¹⁰-1 B、2¹⁰+1 C、2²⁰-1 D、2²⁰+1

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9. 已知函数f(x)=e^|lnx| ， $a = f (1)$ ，b=f(log₂ $\sqrt{3}$ )，c=f(2^1.2)，则（）

A、b>c>a B、c>b>a C、c>a>b D、b>a>c

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D D_{1}$ ， $A B$ ， $B C$ 的中点，则四面体 $O P M N$ 的体积为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$

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12. 已知函数f(x)=elog_ax- $a^{\frac{x}{e}}$ (a>1)没有零点，则实数a的取值范围为（）

A、(e，+∞) B、( $\sqrt{e}$ ，+∞) C、(1，+∞) D、( $e^{\frac{1}{e}}$ ，+∞)

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二、填空题

13. 设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + m, - 1 < x < 0 \\ \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 1 \end{array}$ ，其中m∈R.若f( $\frac{1}{16}$ )=f( $\frac{3}{2}$ )，则m的值是.

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14. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为.

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15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD， $P A = P B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ，若 $△ P B C$ 和 $△ P C D$ 的面积分别为1和 $\sqrt{3}$ ，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为.

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16. 已知F₁､F₂为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F₂作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径r₁与 $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径r₂之比 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 为.

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三、解答题

17. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n=a_n+1-1.

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足2b_n+1+S_n+1=2b_n+2a_n ，证明数列{a_n+b_n}为等差数列，并求其公差.

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18. 如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD= $\sqrt{2}$ ，且BC $⊥$ CD，以BD为折痕把 $△$ ABD和 $△$ CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(E，F不重合).

(1)、求证：EF $⊥$ BD；

(2)、若平面EBD $⊥$ 平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为 $△$ ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60°，求二面角A-BE-D的余弦值.

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19. 为了调查某地区全体高中生的身高信息(单位：cm)，从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人.调查得到样本数据x_i(i=1，2，···60)和y_j(j=1，2，···40)，x_i和y_j分别表示第i个男生和第j个女生的身高.经计算得 $\sum_{i = 1}^{60} x_{i}$ =10500， $\sum_{i = 1}^{60} x_{i}^{2}$ =1838400， $\sum_{j = 1}^{40} y_{j}$ =6600， $\sum_{j = 1}^{40} y_{j}^{2}$ =1090200.

(1)、请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数 $\bar{z}$ 和方差s²；

(2)、根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X服从正态分布N(μ，σ²)，用 $\bar{z}$ 作为μ的估计值，用s²作为σ²的估计值.若从该地区高中学生中随机抽取4人，记 $ξ$ 表示抽取的4人中身高在(171，184.4)的人数，求ξ的数学期望.
附：①数据t₁ ， t₂ ， …t_n的方差 $s^{2} = \frac{1}{n} {(t_{i}^{2} - \bar{t})}^{2} = \frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{m} t_{i}^{2} - n {\bar{t}}^{2})$ ，②若随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827；P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545；P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973； $\sqrt{45}$ ≈6.7.

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20. 已知动圆 $P$ 与 $x$ 轴相切且与圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相外切，圆心 $P$ 在 $x$ 轴的上方， $P$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $E (4 ， 2)$ ，过点 $(0 ， 4)$ 作直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，分别以 $A, B$ 为切点作曲线 $C$ 的切线相交于 $D$ ，当 $△ A B E$ 的面积 $S_{1}$ 与 $△ A B D$ 的面积 $S_{2}$ 之比 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 取最大值时，求直线 $A B$ 的方程.

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21. 已知函数f(x)=2e^x+aln(x+1)-2.

(1)、当a=-2时，讨论f(x)的单调性；

(2)、当x∈[0，π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $[k - 1 + 3 \sin^{k} (\frac{k π}{4} + θ)] ρ^{k} = 4$ .

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、当 $k = 2$ 时， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.

(1)、解不等式f(x)>x+2；

(2)、记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c=m，证明： $\sqrt{\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} .$

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