安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期文数第二次教学质量检查试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + i) = 2 i$ ，则 $| z - 2 i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 4]$ D、 $(0, 4)$

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3. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} + a_{8} = 4$ ，则 $\frac{S_{9}}{9} =$ （）

A、1 B、2 C、6 D、18

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4. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 $1$ 个数组成一个两位数，则其能被 $3$ 整除的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{20}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 已知 $α$ 是三角形的一个内角， $\tan α = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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6. 函数 $y = \ln \frac{1}{\cos x} (- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2})$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = x$

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8. 某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：

男

女

喜欢篮球

40

20

不喜欢篮球

20

30

附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (k^{2} ⩾ k_{0})$

0.050

0.010

0.001

$k_{0}$

3.841

6.635

10.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关” B、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关” C、有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关” D、有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”

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9. 已知曲线 $f (x) = (x + a) e^{x}$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{2 a}{e}$ B、 $\frac{e}{2} + 1$ C、 $- \frac{e}{2}$ D、 $\frac{e}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.则将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的图象解析式为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = - \cos 2 x$

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11. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $8 π$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} x ， x > 0 ， \\ - x ， x \leq 0 ， \end{matrix}$ 函数 $g (x)$ 满足以下三点条件：①定义域为 $R$ ；②对任意 $x \in R$ ，有 $g (x + π) = 2 g (x)$ ；③当 $x \in [0 ， π]$ 时， $g (x) = \sin x$ ．则函数 $y = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 4 π ， 4 π]$ 上零点的个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 2 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ 4 x - y \leq 4 \end{array}$ ，目标函数 $z = 5 x - y$ 的最大值为.

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14. 已知单位向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 满足： ${\vec{e}}_{1} ⊥ ({\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2})$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与向量 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角 $θ =$ ．

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15. 已知点 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $F$ 为其焦点，以 $F$ 为圆心、 $| F A |$ 为半径的圆交准线于 $B$ ， $C$ 两点，若 $△ F B C$ 为等腰直角三角形，且 $△ A B C$ 的面积是 $4 \sqrt{2}$ ，则抛物线的方程是．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ， $△ A B C$ 外接圆周长与 $△ A B C$ 周长之比的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 2 (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 为了满足广大人民群众日益增长的体育需求，2020年8月8日（全民健身日）某社区开展了体育健身知识竞赛，满分100分．若该社区有1000人参加了这次知识竞赛，为调查居民对体育健身知识的了解情况，该社区以这1000名参赛者的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将成绩整理后分成五组，依次记 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、请补全频率分布直方图并估计这1000名参赛者成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、采用分层抽样的方法从这1000人的成绩中抽取容量为40的样本，再从该样本成绩不低于80分的参赛者中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有一名参赛者成绩不低于90分的概率．

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19. 如图，已知四边形 $A B C D$ 和 $B C E G$ 均为直角梯形， $A D$ ∥ $B C$ ， $C E$ ∥ $B G$ ，且 $∠ B C D = ∠ B C E = \frac{π}{2}$ ， $∠ E C D = 120 °$ ， $B C = C D = C E = 2 A D = 2 B G = 2$ ．

(1)、求证： $A G$ ∥平面 $B D E$ ；

(2)、求点 $G$ 到平面 $B D E$ 的距离．

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20. 设定圆 $M : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 24$ ，动圆 $N$ 过点 $F (2, 0)$ 且与圆 $M$ 相切，记动圆 $N$ 圆心 $N$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 有两个交点 $P$ ， $Q$ ，若 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ ，证明：原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{a}{x} - \ln x (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $f (x_{2}) > ln 2$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ + 4 \sin θ, θ \in [0, 2 π)$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、由直线 $l : {\begin{array}{l} x = \frac{2 \sqrt{5}}{5} t + 6, \\ y = \frac{\sqrt{5}}{5} t, \end{array}$ ( $t$ 为参数， $t \in R$ )上的点向曲线引切线，求切线长的最小值.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - | a - 1 |$ ，

(1)、若 $a = 1$ 时，解不等式： $f (x) > 2 | x + 1 |$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 2 | x + 1 |$ 存在实数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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	男	女
喜欢篮球	40	20
不喜欢篮球	20	30

$P (k^{2} ⩾ k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828