安徽省安庆市2021届高三下学期理数一模试卷

试卷更新日期：2021-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - 1) < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- 2, 1)$

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2. 已知复数z满足 $\frac{2 z - 3}{4 - z} = i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、2 D、4

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3. 已知 $a = 2 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{4}, b = \frac{1}{2} \log_{3} 7, c = 2^{\log_{4} 5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系（）

A、a>c>b B、b>a>c C、c>a>b D、c>b>a

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4. 在二项式 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是（）

A、-240 B、240 C、-160 D、160

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5. 向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ， $\vec{c} = (3 m - 1, 1 - 2 m)$ ，若 $(\vec{c} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $m$ 等于（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、2

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6. 数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，3 $a_{2}$ 是 $a_{3}$ 与2 $a_{4}$ 的等差中项，则 ${a_{n}}$ 的公比等于（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\sqrt{2}$

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7. 为了得到函数 $g (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象，只需将 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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8. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上的动点P到直线l∶ $y = - 3$ 的距离为d，A点坐标为(2，0)，则 $| P A | + d$ 的最小值等于（）

A、4 B、 $2 + \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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9. 蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论､方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法现设计一个实验计算圆周率的近似值，向两直角边分别为6和8的直角三角形中均匀投点40个，落入其内切圆中的点有21个，则圆周率 $π \approx$ （）

A、 $\frac{63}{20}$ B、 $\frac{51}{16}$ C、 $\frac{78}{25}$ D、 $\frac{94}{29}$

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10. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ ，圆 $M : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E､F是线段A₁C₁上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是（）

A、 $B D ⊥ C E$ B、 $B D ⊥$ 面CEF C、三角形BEF和三角形CEF的面积相等 D、三棱锥B-CEF的体积为定值

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (1) \neq 0$ ，且满足 $f^{'} (x) \ln x + \frac{f (x)}{x} < 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + 4 y + 2 \geq 0 \\ 2 x - 3 y + 4 \geq 0 \\ 3 x + y - 5 \leq 0 \end{array}$ ，则z=2x+y-1的最大值为.

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14. 函数 $f (x) = (x + 1) e^{x - 1} + a$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线经过点 $(3 ， 7)$ ，则实数 $a =$ .

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15. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 1 = 0$ ，点 $P$ 是直线 $x - y + 1 = 0$ 的一动点， $A B$ 是圆 $C$ 的一条直径，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值等于.

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} - a_{n - 1} = \frac{1}{n (n + 1)}$ ( $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ )， $a_{1} = 2$ ，对于任意 $n \in N^{*}$ 有 $λ > a_{n}$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $c \cos A + (a + 2 b) \cos C = 0$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、 $△ A B C$ 的面积等于 $4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 边的中点，当中线 $A D$ 长最短时，求 $A B$ 边长.

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18. 在斜三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的正三角形，侧棱 $A A^{'} = 2 \sqrt{3}$ ，顶点 $A^{'}$ 在面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 边的中点 $O$ .

(1)、求证：面 $B C C^{'} B^{'} ⊥$ 面 $A O A^{'}$ ；

(2)、求面 $A B C$ 与面 $A^{'} B^{'} C$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过椭圆左焦点F的直线 $x - 4 \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$ 与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点M作直线l垂直于x轴，直线MA､MB交椭圆分别于A､B两点，且两直线关于直线l对称，求证∶直线AB的斜率为定值.

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20. 某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案∶方案①∶一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案②∶一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3

(1)、现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；

(2)、如果某顾客获得一次抽奖机会.那么他选择哪种方案更划算.

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21. 函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - a$ .

(1)、讨论函数的极值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点个数.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = 1 + 2 \sin θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程和曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，设点 $P$ 的坐标为 $(0, - 2)$ ，求 $| P M |^{2} + | P N |^{2}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | - | x + 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 1$ 的解集；

(2)、若 $a > 0$ ，不等式 $f (x) + 2 > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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