2015年北京市人大附中高考数学模拟试卷（三）

试卷更新日期：2016-07-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $\frac{m}{1 + i} = 1 - n i$ ，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+n=（　　）

A、1+2i B、1﹣2i C、2+i D、2﹣i

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2. 原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为(-2，2 $\sqrt{3}$ )的点的极坐标是（　　）

A、（4， $\frac{π}{3}$ ） B、（4， $\frac{4 π}{3}$ ） C、（﹣4，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ） D、（4，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ）

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3. 在△ABC中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的（　　）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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4. 若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线， $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ ≠0，且 $\vec{c}$ = $\vec{a}$ - $(\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{\vec{a} \cdot \vec{b}})$ $\vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为（　　）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（﹣2010）+f（2011）的值为（　　）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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6.
如图是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是 $\frac{1}{3}$ ，则？处的关系式是（　　）

A、y= $x^{3}$ B、y= $3^{- x}$ C、y= $3^{x}$ D、 $y = x^{\frac{1}{3}}$

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7. 如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组： $\{\begin{matrix} k x - y + 1 \geq 0 \\ k x - m y \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域的面积是（　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8.
在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A₁B₁ ， C₁D₁ ， AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 代数式（1﹣x）（1+x）⁵的展开式中x³的系数为

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10.
如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为．

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11. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若c=2，b= $\sqrt{3}$ ， A+C=3B，则sinC=

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12.
如图，CE为圆O的直径，PE为圆O的切线，E为切点，PBA为圆O的割线，交CE于D点，CD=2，AD=3，BD=4，则圆O的半径为r= ；PB=

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13. 设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为

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14. 如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x₁ ， x₂ ，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），且存在两个不相等的自变量值y₁ ， y₂ ，使得f（y₁）=f（y₂），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．
则 ① $f (x) = \{\begin{matrix} x, x \geq 1 \\ 0, - 1 < x < 1 \\ x, x \leq - 1 \end{matrix}$ ， ② $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x = - \frac{π}{2} \\ \sin x, - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \end{matrix}$ ，
③ $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 1 \\ 0, - 1 < x < 1 \\ - 1, x \leq - 1 \end{matrix}$ ， ④ $f (x) = \{\begin{matrix} x, x \geq 1 \\ x + 1, x < 1 \end{matrix}$ ，
四个函数中为不严格增函数的是，若已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）有个．

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三、解答题

15. 设f（x）=6cos²x﹣ $\sqrt{3}$ sin2x，
（1）求f（x）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足f（α）=3﹣2 $\sqrt{3}$ ，求tan $\frac{4}{5}$ α的值．

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16.
如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）求证：平面BDF⊥平面ACE；
（3）2AE=EB，在线段AE上找一点P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求AP的长．

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17. 某射击游戏规定：每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i（i=1，2，3）次射击时击中目标得4﹣i分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x}$ $(x > 0, a \in R)$ ．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）求证：不等式 $\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} < \frac{1}{2}$ 对于x∈（1，2）恒成立．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率e= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，原点到过A（a，0），B（0，﹣b）两点的直线的距离是 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+1（k≠0）交椭圆于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的取值范围．

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20. 设a₁ ， a₂ ， …，a_n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f_k是集合{a_i|a_i＜a_k ， i＞k}元素的个数，而g_k是集合{a_i|a_i＞a_k ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f_n=g₁=0，例如：对于排列3，1，2，f₁=2，f₂=0，f₃=0
（I）对于排列4，2，5，1，3，求 $\sum_{k = 1}^{n}$ $f_{k}$
（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求 $\sum_{k = 1}^{n}$ $g_{k}$ 的最大值，并写出相应得一个排列
（Ⅲ）证明 $\sum_{k = 1}^{n}$ $f_{k}$ = $\sum_{k = 1}^{n}$ $g_{k}$

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