高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量的坐标表示

试卷更新日期：2021-03-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8, - 9)$ B、 $(- 4, - 9)$ C、 $(- 5, - 6)$ D、 $(8, 11)$

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2. 若向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (0, 1)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3, 2)$ ， $\overset{⇀}{c} = (1, 1)$ ，则向量 $\overset{⇀}{c}$ 可用向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 表示为（）

A、 $2 \overset{⇀}{a} + 6 \overset{⇀}{b}$ B、 $5 \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b}$ C、 $4 \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}$ D、 $\overset{⇀}{a} - 5 \overset{⇀}{b}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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5. 已知向量 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 的坐标可以为（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(2, - 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(- 2, - 4)$

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6. 在下列各组向量中，互相垂直的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (2, 1)$ B、 $\overset{⇀}{e_{1}} = (0, 1)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{4})$

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7. 设△ABC的三个内角为A，B，C，向量 $\vec{m} = (\sin A, \sin B)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \cos B, \sqrt{3} \cos A)$ ，若 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 - \cos C$ ，则 $C$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 设 $x ， y \in$ R，向量 $\vec{a} = (x ， 1) ， \vec{b} = (1 ， y) ， \vec{c} = (2 ， - 4)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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9. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ，则与 $\vec{a}$ 平行的单位向量的坐标为（）

A、 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 或 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ C、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ （）

A、平行且同向 B、垂直 C、平行且反向 D、不垂直也不平行

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二、多选题

11. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (k ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， - 1)$ ，则下列叙述错误的是（）

A、若 $k < - 2$ 时，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为钝角 B、 $| \overset{⇀}{a} |$ 的最小值为2 C、与 $\overset{⇀}{b}$ 共线的单位向量只有一个为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $| \overset{⇀}{a} | = 2 | \overset{⇀}{b} |$ ，则 $k = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

12. 已知 $\vec{a} = (- 4, 3), \vec{b} = (0, 5)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为.

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13. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面的一组基底，若 $\vec{p} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a}, \vec{b}$ 下的坐标为 $(1, 2)$ ，那么 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}$ 下的坐标为.

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14. 向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (n, - 6)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $n =$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $b = (\cos θ, \sin θ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\tan θ =$ ．

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16. 已知向量 $\overset{⇀}{A B} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{A C} = (3, 5)$ ，则向量 $\overset{⇀}{B C}$ 的坐标是．

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四、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, - m)$ 且 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} = (2, 1)$ 共线.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x ， \sin x) ， \vec{b} = (\sqrt{3} \cos x ， 2 \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - 2), \overset{⇀}{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $(3 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) / / (\overset{⇀}{a} + k \overset{⇀}{b})$ ，求k的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (m \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，求m的值.

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20. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $| \vec{b} | = 3 \sqrt{5}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{c} | = 2$ ，且 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角θ的余弦值.

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21. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, \cos α)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\frac{1}{3}, \sin α)$ ， $α \in (0, π)$

(1)、若 $\overset{⇀}{α} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，求 $\sin 2 α$ 的值﹔

(2)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，求 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ 值.

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22. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3 ， 4)$ .

(1)、求 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 的值；

(2)、求向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 夹角的余弦值.

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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的坐标表示

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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