高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量的概念与运算（二）

试卷更新日期：2021-03-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知向量a，b满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\cos ⟨ \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{19}{35}$

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2. 如图，在底面为正方形的平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱中，与向量 $\vec{A A^{'}}$ 模相等的向量有（）.

A、0个 B、3个 C、7个 D、9个

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3. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若 $\vec{a} \neq \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ ；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则对于任意实数 $λ$ ， $| λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、1

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，且向量m $\vec{a} -$ 3 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} +$ （2﹣m） $\vec{b}$ 共线，则实数m的值为（）

A、﹣1或3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣1或4 D、3或4

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6. 如图， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $120^{°}$ ， $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为 $30^{°}$ ，若 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ $(λ ， μ \in R)$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 等于（）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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二、多选题

7. 在△ABC中，下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ ； B、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ ； C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ，则△ABC是锐角三角形 D、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则△ABC是等腰三角形；

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8. $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = \vec{a}$ 、 $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ D、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{B C}$

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9. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $| \vec{a} |$ D、若存在实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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10. 在给出的下列命题中，正确的是（）

A、设 $O 、 A 、 B 、 C$ 是同一平面上的四个点，若 $\overset{⇀}{O A} = m \cdot \overset{⇀}{O B} + (1 - m) \cdot \overset{⇀}{O C} (m \in R)$ ，则点 $A 、 B 、 C$ 必共线 B、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面 $α$ 上的两个向量，则平面 $α$ 上的任一向量 $\vec{c}$ 都可以表示为 $\overset{⇀}{c} = λ \overset{⇀}{a} + μ \overset{⇀}{b} (μ 、 λ \in R)$ ，且表示方法是唯一的 C、已知平面向量 $\vec{O A} 、 \vec{O B} 、 \vec{O C}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}, \vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |})$ 则 $Δ A B C$ 为等腰三角形 D、已知平面向量 $\vec{O A} 、 \vec{O B} 、 \vec{O C}$ 满足 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = r (r > 0)$ ，且 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $Δ A B C$ 是等边三角形

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三、填空题

11. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是 $- 1$ ，且满足 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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12. 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 $\vec{B D}$ =2 $\vec{D C}$ ， $\vec{A E}$ =λ $\vec{A C}$ ﹣ $\vec{A B}$ （λ∈R），且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E}$ =﹣4，则λ的值为．

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13. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2，则| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |+| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |的最小值是，最大值是．

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14. 如图，在边长1为正方形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A C} =$ ，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{B N}$ ，则 $λ + μ =$ .

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15. 计算： $\vec{Q P} + \vec{N Q} + \vec{M N} - \vec{M P} =$ ．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则A、B、 C 、 D 四点中一定共线的三点是.

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四、解答题

17. 如图所示，已知 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ， $\overset{⇀}{O D} = \overset{⇀}{d}$ ， $\overset{⇀}{O E} = \overset{⇀}{e}$ ， $\overset{⇀}{O F} = \overset{⇀}{f}$ ，试用 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{c}$ 、 $\overset{⇀}{d}$ 、 $\overset{⇀}{e}$ 、 $\overset{⇀}{f}$ 表示下列各式：

(1)、 $\overset{⇀}{A D} - \overset{⇀}{A B}$ ；

(2)、 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{C F}$ ；

(3)、 $\overset{⇀}{E F} - \overset{⇀}{C F}$ .

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18. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量.

(1)、若 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | = 3$ ，试求 $| 3 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，求向量 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{n} = 2 \vec{b} - \vec{a}$ 上的投影.

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19. 已知 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°．

(1)、求 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b})$ 与 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、x为何值时， $x \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 垂直？

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20. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | 3 \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} | = \sqrt{13}$ ，且 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60 °$ .
(Ⅰ)求 $| \overset{⇀}{b} |$ 的值；

(Ⅱ)求 $2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 和 $\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}$ 夹角的余弦值.

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21. 已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面上两个不共线的向量且 $\vec{A B} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B D} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{A B}$ ， $\vec{C D}$ 方向相反，求 $k$ 的值；

(2)、若 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线，求 $k$ 的值.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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