高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量的概念和运算

试卷更新日期：2021-03-23 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为相反向量，则 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} = \vec{0}$ C、零向量是没有方向的向量 D、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = 2 \overset{⇀}{D B}$ ，若 $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 若非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 互为相反向量，则下列说法中错误是（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $\vec{a} \neq \vec{b}$ C、 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ D、 $\vec{a} = - \vec{b}$

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4. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点，且 $B D = \frac{1}{3} B C$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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5. 非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 4, | \vec{a} | = 2$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $θ$ ，则“ $| \vec{b} - \vec{a} | = 2 \sqrt{3}$ ”是“ $θ = \frac{π}{3}$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 4, | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，且 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影与 $\overset{⇀}{b}$ 在 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影相等，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 等于（）

A、1 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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7. 下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反 B、若向量 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ C、若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D、若向量 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$

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8. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是平面向量，下列命题正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} | < | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} < \vec{b}$ C、若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ D、零向量与任何非零向量都不共线

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9. 在边长为3的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D B}$ =（）

A、 $- \frac{17}{2}$ B、-1 C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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10. 设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 $\vec{A O} + \vec{O B} = \vec{D O} + \vec{O C}$ ，则四边形ABCD是（）

A、空间四边形 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、矩形

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 分别是边 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（）

A、 $\vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{B E}$ B、 $\vec{A B} + \vec{A C} = 3 \vec{A G}$ C、 $\vec{D G} = \frac{1}{2} \vec{A G}$ D、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

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12. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - 2 \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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13. 下列各式中不能化简为 $\vec{P Q}$ 的是（）

A、 $\vec{A B} + (\vec{P A} + \vec{B Q})$ B、 $(\vec{A B} + \vec{P C}) + (\vec{B A} - \vec{Q C})$ C、 $\vec{Q C} - \vec{Q P} + \vec{C Q}$ D、 $\vec{P A} + \vec{A B} - \vec{B Q}$

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二、多选题

14. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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三、填空题

15. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则实数 $k$ 的值为.

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16. 已知： $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ， $\vec{c} = λ (\vec{a} - \vec{b}) (λ \in R)$ ， $| \vec{d} - \vec{a} | = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{d} - \vec{c} |$ 最小值为.

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17. 已知 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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18. 在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $\vec{A B} + \vec{A D} = λ \vec{O A}$ ，则实数 $λ$ =.若 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ ，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ$ =

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四、解答题

19. 某人在静水中游泳，速度为 $4 \sqrt{3}$ 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.

(1)、若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

(2)、他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

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20. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 1, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ .求：

(1)、 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ ；

(2)、 $| \vec{a} -2 \vec{b} |$ .

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21. 如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 $O B$ 的一个靠近点B的三等分点，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{b}$ .

(1)、用向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O C} ， \overset{⇀}{C D}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O E} = \frac{4}{5} \overset{⇀}{O A}$ ，求证：C，D，E三点共线.

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22. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线向量，知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} - 8 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ．

(1)、证明： $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线

(2)、若 $\vec{B F} = 3 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ，且 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 三点共线，求 $k$ 的值.

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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的概念和运算

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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