河北省石家庄市新华区2020年中考数学四模试卷

试卷更新日期：2021-03-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2020的倒数是（）

A、 $| - 2020 |$ B、 $- \frac{1}{2020}$ C、2020 D、-2020

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2. 在下列气温的变化中，能够反映温度上升 $5 {}^{\circ}C$ 的是（）

A、气温由 $- 3 {}^{\circ}C$ 到 $2 {}^{\circ}C$ B、气温由 $- 1 {}^{\circ}C$ 到 $- 6 {}^{\circ}C$ C、气温由 $- 1 {}^{\circ}C$ 到 $5 {}^{\circ}C$ D、气温由 $4 {}^{\circ}C$ 到 $- 1 {}^{\circ}C$

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3. 按图1~图4的步骤作图，下列结论错误的是（）

A、 $\frac{1}{2} ∠ A O B = ∠ A O P$ B、 $∠ A O P = ∠ B O P$ C、 $2 ∠ B O P = ∠ A O B$ D、 $∠ B O P = 2 ∠ A O P$

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4. 实数 $a$ 、 $b$ 在数轴上的位置如图所示，则a+b的值是（）

A、正数 B、负数 C、0 D、不能确定

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5. 如图是正方体的表面展开图，则在原正方体中，与“中”字相对的面上的字是（）

A、国 B、必 C、胜 D、疫

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6. 将一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 配方后，原方程变形为（）

A、 ${(x - 6)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 6)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 5$

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7. 用半圆围成一个几何体的侧面，则这个几何体的左视图是（）

A、钝角三角形 B、等腰直角三角形 C、等边三角形 D、圆

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8. 截至2020年2月底，石家庄累计确诊的新型冠状病毒人数为29人，约占石家庄总人数的 $0.00026 %$ ，若 $0.00026 %$ 用科学记数法表示成 $2.6 \times 10^{n}$ ，则 $n$ 的值是（）

A、5 B、6 C、-5 D、-6

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9. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径， $C$ 为半圆的中点，动点 $D$ 从点 $A$ 出发在圆周上顺时针匀速运动，到达点 $B$ 后停止运动，在点 $D$ 运动过程中（不包括 $A$ 、 $B$ 两点）， $∠ A D C$ 的值（）

A、由小逐渐增大 B、固定不变为 $45^{\circ}$ C、由大逐渐减小 D、固定不变为 $60 °$

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10. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，记投掷两次的正面数字之和为 $S$ ，则下面关于事件 $S$ 发生的概率 $P (S)$ 说法错误的是（）

A、 $P (S = 5) = P (S = 9)$ B、 $P (S = 6) = \frac{1}{6}$ C、 $P (S = 8) = \frac{5}{36}$ D、 $P (S < 7) = \frac{15}{36}$

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11. 连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（）

A、四边形 $A F G H$ 与四边形 $C F E D$ 的面积相等 B、连接 $B F$ ，则 $B F$ 分别平分 $∠ A F C$ 和 $∠ A B C$ C、整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D、 $Δ A C F$ 是等边三角形

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12. 若关于x的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{x + m}{2 - x} = 2$ 的解为正数，则m的取值范围是（）

A、m<6 B、m>6 C、m<6且m≠0 D、m>6且m≠8

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13. 如图，已知线段 $A B$ ，按下列步骤作图：分别以 $A$ 、 $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ 、 $N$ ，作直线 $M N$ ，交 $A B$ 于点 $O$ ，分别连接 $M A$ 、 $M B$ 、 $N A$ 、 $N B$ ，如果四边形 $M A N B$ 是正方形，需要添加的条件是（）

A、 $A O = M O$ B、 $M A / / N B$ C、 $M A = N B$ D、 $A B$ 平分 $∠ M A N$

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14. 如图，平面直角坐标系中，过点 $A (1 ， 2)$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $O A$ ，将 $Δ A B O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ， $O$ 、 $B$ 两点的对应点分别为 $C$ 、 $D$ .当双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 与 $Δ A C D$ 有公共点时， $k$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq k \leq 3$ B、 $3 \leq k \leq 6$ C、 $2 \leq k \leq 6$ D、 $3 \leq k \leq 4$

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15. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 上， $A D = 5$ ， $C E$ 是 $Δ B C D$ 的角平分线，且 $C E = 6$ ，当 $∠ B C D = 2 ∠ A$ 时， $D E$ 的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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16. 如图，在 $2 \times 2$ 的正方形网格中，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从 $A$ 、 $B$ 两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点 $G$ 停止.动点 $P$ 的运动路线为： $A \to M \to F \to G$ ；动点 $Q$ 的运动路线为： $B \to N \to C \to G$ ，连接 $P E$ 、 $Q E$ .设动点 $P$ 运动时间为 $t (s)$ ， $Δ E P Q$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系用图象表示大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

17. $1 - {(- 1)}^{2}$ $=$ ．

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18. 定义运算 $a \otimes b$ ，当 $a > b$ 时，有 $a \otimes b = a$ ，当 $a < b$ 时，有 $a \otimes b = b$ ，则有：
① $(- \frac{3}{4}) \otimes (- \frac{4}{5}) =$ ；

②如果 $(x + 2) \otimes 2 x = x + 2$ ，那么 $x$ 的取值范围是．

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19. 曲线 $L$ 在直角坐标系中的位置如图所示，曲线 $L$ 是由半径为2，圆心角为 $120 °$ 的 $\overset{⌢}{O A}$ （ $O$ 是坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴上）绕点 $A$ 旋转 $180 °$ ，得到 $\overset{⌢}{A A_{1}}$ ；再将 $\overset{⌢}{A A_{1}}$ 绕点 $A_{1}$ 旋转 $180 °$ ，得到 $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ ；……依次类推，形成曲线 $L$ ，现有一点 $P$ 从 $O$ 点出发，以每秒 $π$ 个单位长度的速度，沿曲线 $L$ 向右运动，则点 $A$ 的坐标为；在第 $2020 s$ 时，点 $P$ 的坐标为．

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三、解答题

20. 对于题目：“已知 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，求代数式 $3 x^{2} - 6 x + 2020$ 的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果.

(1)、设 $x^{2} - 2 x = y$ ，则 $3 x^{2} - 6 x + 2020 =$ （用含 $y$ 的代数式表示）；

(2)、根据 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，得到 $y = 1$ ，所以 $3 x^{2} - 6 x + 2020$ 的值为；

(3)、用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：
已知 $a + \frac{1}{a} - 5 = 0$ ，求代数式 $\frac{a^{2} - 4 a + 1}{a}$ 的值.

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21. 观察下列等式，探究发现规律，并解决问题，
① $3^{2} - 3^{1} = 2 \times 3^{1}$ ；

② $3^{3} - 3^{3} = 2 \times 3^{2}$ ；

③ $3^{4} - 3^{3} = 2 \times 3^{3}$ ；

(1)、直接写出第④个等式：；

(2)、猜想第 $n$ 个等式（用含字母 $n$ 的式子表示），并说明这个等式的符合题意性；

(3)、利用发现的规律，求 $3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{10}$ 的值．（参考数据： $3^{11} = 177147$ ）

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22. 为了强化学生的环保意识，某校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，两个队学生的复赛成绩（满分10分）如图所示：

(1)、根据图示填写下表：

	平均分	中位数	众数	方差
初中队		8.5		0.7
高中队	8.5		10

(2)、小明同学说：“这次复赛我得了8分，在我们队中排名属中游偏下！”小明是初中队还是高中队的学生？为什么？

(3)、结合两队成绩的平均分、中位数和方差，分析哪个对的复赛成绩较好．

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23. 如图，在等腰 $Δ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ B A C = α$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $2 α$ ，得到 $Δ A D E$ ，连结 $B E$ ．

(1)、求证： $B E = B C$ ；

(2)、四边形 $A B E D$ 是什么形状的四边形？并说明理由；

(3)、直接写出：当 $α$ 分别是多少度时，① $B E ⊥ A C$ ；② $B E / / A C$ ．

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24. 已知甲、乙两辆汽车分别从 $A$ 、 $B$ 两地同时匀速出发，甲车开往 $B$ 地，乙车开往 $A$ 地，设甲、乙两车距 $A$ 地的路程分别为 $S_{甲}$ 、 $S_{乙}$ （单位： $k m$ ），甲车的行驶时间为 $t$ （单位： $h$ ）．若甲车的速度为 $100 k m / h$ ， $S_{乙}$ 与 $t$ 之间的对应关系如下表：

$t (h)$

2

5

$S_{乙} (k m)$

560

320

(1)、分别求出 $S_{甲}$ 、 $S_{乙}$ 与 $t$ 之间的函数关系式；（不写 $t$ 的取值范围）

(2)、当 $t$ 为何值时，甲、乙两辆汽车相遇？

(3)、当两车距离小于 $180 k m$ 时，求 $t$ 的取值范围．

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25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线 $A C$ 上（点 $O$ 不与点 $A$ 重合），过点 $O$ 作 $O D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ，以点 $O$ 为圆心， $O D$ 为半径画半圆 $O$ ，分别交射线 $A C$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，设 $O D = x$ ．

(1)、如图，当点 $O$ 为 $A C$ 边的中点时，求 $x$ 的值；

(2)、如图，当点 $O$ 与点 $C$ 重合时，连接 $D F$ ，求弦 $D F$ 的长；

(3)、当半圆 $O$ 与 $B C$ 无交点时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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26. 如图，抛物线 $L ： y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ $(m > 0)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、 $b$ 与 $c$ 之间的关系式为：；

(2)、判断线段 $O B$ 和 $O C$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、设点 $P (x ， y)$ 是抛物线 $L$ 上 $B$ 、 $C$ 之间的动点，连接 $P B$ ， $P C$ ，当 $m = 3$ 时：
①若 $S_{Δ P B C} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ ，求点 $P$ 的坐标；

②若 $n \leq x \leq n + 1$ ，且 $y = - x^{2} + b x + c$ 的最大值为 $2 n$ ，请直接写出 $n$ 的值．

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$t (h)$	2	5
$S_{乙} (k m)$	560	320