北京市石景山区2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2019年5月7日，我国自主创新研发的“东方红3号科学考察船”通过挪威DNV﹣GL船级社权威认证，成为全球最大静音科考船．“东方红3”是一艘5000吨级深远海科考船，具有全球无限航区航行能力，可持续航行15000海里．将15000用科学记数法表示应为（）

A、0.15×10⁵ B、1.5×10⁴ C、15×10⁴ D、15×10³

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2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则错误的结论是（）

A、 $| a | > 3$ B、 $b - a < 0$ C、 $a b < 0$ D、 $a > - c$

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4. 如图，AD平分∠BAC ，点E在AB上，EF∥AC交AD于点G ，若∠DGF＝40°，则∠BAD的度数为（）

A、20° B、40° C、50° D、80°

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5. 若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E.用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 某地区经过三年的新农村建设，年经济收入实现了翻两番（即是原来的2²倍）．为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后的年经济收入构成结构如图，则下列结论中错误的是（）

A、新农村建设后，种植收入减少了 B、新农村建设后，养殖收入实现了翻两番 C、新农村建设后，第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多 D、新农村建设后，第三产业收入与养殖收入之和超过了年经济收入的一半

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二、填空题

9. 请写出一个比 $\sqrt{10}$ 小的整数：．

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10. 如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为米.

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11. 分解因式： $x y^{2} - 4 x =$ ．

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12. 一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是．

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13. 如果m+2n＝ $\sqrt{5}$ ，那么代数式（ $\frac{4 n}{m - 2 n}$ +2）÷ $\frac{π}{m^{2} - 4 n^{2}}$ 的值为．

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14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ， BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．

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15. 为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：

根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：

①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；

②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；

③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．

所有正确的说法是．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，函数y₁＝x（x＜m）的图象与函数y₂＝x²（x≥m）的图象组成图形G ．对于任意实数n ，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{5})}^{- 1} - {(π - 2020)}^{0} + | \sqrt{3} - 1 | - 3 \tan 30^{°}$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 5 > 2 (x - 3) \\ \frac{x + 4}{3} ⩾ x \end{array}$ 并写出该不等式组的所有非负整数解．

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19. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P ．

求作：直线PQ ，使得PQ⊥l ．

作法：如图2：

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A ， B；

②分别以点A ， B为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；

③作直线PQ ．

所以直线PQ就是所求作的直线．

根据小石设计的尺规作图过程：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接QA ， QB ．

∵QA＝ ▲ ， PA＝ ▲ ，

∴PQ⊥l （ ▲ ）（填推理的依据）．

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20. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣3x+2＝0有两个实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为正整数，求此时方程的根．

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21. 如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E ．

(1)、求证：四边形ACED是矩形；

(2)、连接AE交CD于点F ，连接BF ．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．

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22. 如图，直线 $y = x + 3$ 与函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (1 ， m)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ .

(1)、求 $m$ ， $k$ 的值；

(2)、过动点 $P (0 ， n) (n > 0)$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $C$ ，交直线 $y = x + 3$ 于点 $D$ .
①当 $n = 2$ 时，求线段 $C D$ 的长；

②若 $C D \geq O B$ ，结合函数的图象，直接写出 $n$ 的取值范围.

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23. 如图，AB是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点C ，以OB ， BC为边作▱OBCD ，连接AD并延长交⊙O于点E ，交直线PQ于点F ．

(1)、求证：AF⊥CF；

(2)、连接OC ， BD交于点H ，若tan∠OCB＝3，⊙O的半径是5，求BD的长．

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24. 北京某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a ．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：

最高气温t（单位：℃）	20≤t＜25	25≤t＜30	30≤t≤40
酸奶需求量（单位：瓶/天）	300	400	600

b.2017年6月最高气温数据的频数分布统计表如表（不完整）：

2017年6月最高气温数据的频数分布表：

分组	频数	频率
20≤t＜25	3
25≤t＜30	m	0.20
30≤t＜35	14
35≤t≤40		0.23
合计	30	1.00

c.2018年6月最高气温数据的频数分布直方图如图：

d.2019年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：

25 26 28 29 29 30 31 31 31 32 32 32 32 32 32

33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、m的值为；

(2)、2019年6月最高气温数据的众数为，中位数为；

(3)、估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为；

(4)、已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．

①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为元；

②根据以上信息，预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为．

A.550瓶/天

B.600瓶/天

C.380瓶/天

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25. 如图，C是

\overset{⌢}{AB}

上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC ，过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q ．小石根据学习函数的经验，对线段PC ， PA ， AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令AQ＝0cm）

(1)、下面是小石的探究过程，请补充完整：
对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ， PA ， AQ的几组值，如表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8	位置9
PC/cm	4.07	3.10	2.14	1.68	1.26	0.89	0.76	1.26	2.14
PA/cm	0.00	1.00	2.00	2.50	3.00	3.54	4.00	5.00	6.00
AQ/cm	0.00	0.25	0.71	1.13	1.82	3.03	4.00	3.03	2.14

在PC ， PA ， AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；

(2)、在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

(3)、结合函数图象，解决问题：当AQ＝PC时，PA的长度约为cm ．（结果保留一位小数）

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B ．

(1)、用含a的代数式表示b；

(2)、若∠BAO＝45°，求a的值；

(3)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ， B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

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27. 如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、用等式表示线段EF ， DF ， BE之间的数量关系，并证明；

(3)、连接CE ，若AB＝2 $\sqrt{5}$ ，请直接写出线段CE长度的最小值．

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28. 在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称 $\overset{⌢}{D E}$ 为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中 $\overset{⌢}{D E}$ 是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t ， 0）（t＞0）．

(1)、当t＝2时，
在点C₁（﹣3，2），C₂（0，2 $\sqrt{3}$ ），C₃（2，4），C₄（4，2）中，满足条件的点C是；

(2)、当t＝2时，若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧 $\overset{⌢}{D E}$ 所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；

(3)、若△ABC的C﹣中线弧 $\overset{⌢}{D E}$ 所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．

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