北京市东城区2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-23 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为（）

A、1.52125×10⁵ B、1.52125×10⁴ C、0.152125×10⁵ D、0.152125×10⁶

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2. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

A、长方体 B、正方体 C、圆柱 D、球

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3. 如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）

A、48° B、78° C、92° D、102°

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4. 把 $2 a^{2} - 8$ 分解因式，结果正确的是（）

A、 $2 (a^{2} - 4)$ B、 $2 {(a - 2)}^{2}$ C、 $2 (a + 2) (a - 2)$ D、 $2 {(a + 2)}^{2}$

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5. 点 $O ， A ， B ， C$ 在数轴上的位置如图所示， $O$ 为原点， $A C = 1$ ， $O A = O B$ ．若点 $C$ 所表示的数为 $a$ ，则点 $B$ 所表示的数为（）

A、 $- (a + 1)$ B、 $- (a - 1)$ C、 $a + 1$ D、 $a - 1$

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6. 已知锐角∠AOB ，如图，（1）在射线OA上取一点C ，以点O为圆心，OC长为半径作 $\overset{⌢}{M N}$ ，交射线OB于点D ，连接CD；（2）分别以点C ， D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P ，连接CP ， DP；（3）作射线OP交CD于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A、CP∥OB B、CP＝2QC C、∠AOP＝∠BOP D、CD⊥OP

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7. 将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S₁ ，阴影部分的面积之和为S₂ ．若S₁＝ $\frac{5}{3}$ S₂ ，则a ， b满足（）

A、2a＝5b B、2a＝3b C、a＝3b D、a＝2b

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8. 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．

年份人数地区	2017	2018	2019
东部	300	147	47
中部	1112		181
西部	1634	916	323

（以上数据来源于国家统计局）

根据统计图表提供的信息，下面推断错误的是（）

A、2018年中部地区农村贫困人口为597万人 B、2017﹣2019年，农村贫困人口数量都是东部最少 C、2016﹣2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多 D、2017﹣2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低

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二、填空题

9. 若 $\sqrt{2 x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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10. 随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b ，则a+b＞4的概率是．

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11. 若x²+x﹣3＝0，则代数式2（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）的值是．

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12. 如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为．

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13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为．

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14. 如图，半径为 $\sqrt{3}$ 的⊙ $O$ 与边长为 $8$ 的等边三角形 $A B C$ 的两边 $A B$ 、 $B C$ 都相切，连接 $O C$ ，则 $\tan ∠ O C B =$ .

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15. 甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：
①乙队率先到达终点；

②甲队比乙队多走了126米；

③在47.8秒时，两队所走路程相等；

④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．

所有正确判断的序号是．

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16. 从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a_k ， b_k）构成一个数对M_k＝{a_k ， b_k）（其中k＝1，2，…，s ，且将{a_k ， b_k}与{b_k ， a_k}视为同一个数对），若满足：对于任意的M_i＝{a_i ， b_i}和M_j＝{a_j ， b_j）（i≠j ， 1≤i≤s ， 1≤j≤s）都有a_i+b_i≠a_j+b_j ，则s的最大值是．

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三、解答题

17. 计算：|﹣ $\sqrt{3}$ |﹣（3﹣π）⁰+2cos60°+（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣1 ．

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18. 解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x - 6 < 3 x \\ \frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0 \end{matrix}$ ．

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19. 观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．
解分式方程：1﹣ $\frac{x - 3}{2 x + 2}$ ＝ $\frac{3 x}{x + 1}$ ．

解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x ， …步骤1

去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x ， …步骤2

移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3

合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4

解得x＝ $\frac{1}{2}$ ．…步骤5

所以，原分式方程的解为x＝ $\frac{1}{2}$ ．…步骤6

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20. 已知关于x的方程ax²+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．

(1)、求a的取值范围；

(2)、若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．

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21. 如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E ， DF⊥BC于点F ．

(1)、求证：BF＝DE；

(2)、分别延长BE和AD ，交于点G ，若∠A＝45°，求 $\frac{D G}{A D}$ 的值．

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22. 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （m≠0，x＞0）的图象在第一象限内交于点A ， B ，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C ，过A ， B分别作y轴的垂线，垂足分别为D ， E ．已知A（1，4）， $\frac{C D}{C E}$ ＝ $\frac{1}{4}$ ．

(1)、求m的值和一次函数的解析式；

(2)、若点M为反比例函数图象在A ， B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N ，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．

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23. 如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A ，与⊙O相交于点P ， OA＝5．C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B ，且AB＝AC ．

(1)、求证：AB是⊙O的切线；

(2)、若tan∠ACB＝ $\frac{1}{2}$ ，求线段BP的长．

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24. 人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．

a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：

b ．人口数量在2≤x＜4这一组的是：

2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9

c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：

d ．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：

	0～14岁人口比例	15～59岁人口比例	60岁以上人口比例
第二次人口普查	40.4%	54.1%	5.5%
第五次人口普查	22.89%	66.78%	10.33%
第六次人口普查	16.6%	70.14%	13.26%

e ．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第位．

(2)、人口增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为千万人（保留小数点后一位）．

(3)、下列说法中合理的是．

①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；

②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．

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25. 如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm ， O是AB外一定点．连接OP ，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ ，连接PQ ， AQ ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ， PQ ， AQ的长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ， PQ ， AQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7
AP	0.00	1.00	2.00	3.00	4.00	5.00	6.00
PQ	4.00	2.31	0.84	1.43	3.07	4.77	6.49
AQ	4.00	3.08	2.23	1.57	1.40	1.85	2.63

在AP ， PQ ， AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；

(2)、在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

(3)、结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为cm ．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax²﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．

(1)、求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；

(2)、当a＝ $\frac{1}{2}$ 时，写出区域W内的所有整点坐标；

(3)、若区域W内有3个整点，求a的取值范围．

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27. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE ， ME ，延长CB到点F ，使得BF＝DM ，连接EF ， AF ．

(1)、依题意补全图1；

(2)、若DM＝1，求线段EF的长；

(3)、当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．

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28. 在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果 $\overset{⌢}{C D}$ 上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 $\overset{⌢}{C D}$ 为△ABC的中线弧．

(1)、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．
①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧 $\overset{⌢}{C D}$ ，直接写出△ABC的中线弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在圆的半径r的最小值；

②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧 $\overset{⌢}{C D}$ 的弧长l ．

(2)、在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧 $\overset{⌢}{C D}$ 所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．

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