浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 不等式 $\frac{x + 1}{x - 3} < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x < 1$ 或 $x > 3}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 3}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{4} = 7$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、10 B、8 C、9 D、11

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $c^{2} = a^{2} + b^{2} - \sqrt{3} a b$ ，则 $C =$ （）

A、60° B、30° C、60°或120° D、120°

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4. 若非零实数a，b满足 $a < b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} < 1$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{a b^{2}} < \frac{1}{a^{2} b}$

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5. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{4} a_{5} + a_{3} a_{6} = 6$ ，则 $a_{1} a_{2} \dots a_{8} =$ （）

A、27 B、81 C、243 D、729

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7. 数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{8} = S_{24}$ ，那么当 $S_{n}$ 取得最大值时，n等于（）

A、14 B、17 C、15 D、16

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8. 已知 $\sin (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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9. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，记 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，记 $c_{n} = \frac{T_{n}}{n}$ ，则（）

A、数列 ${b_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 的公差也为 $d$ B、数列 ${c_{n}}$ 是等差数列， ${c_{n}}$ 的公差为 $\frac{1}{2} d$ C、数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是等差数列， ${a_{n} + b_{n}}$ 的公差为 $2 d$ D、数列 ${a_{n} + c_{n}}$ 是等差数列， ${a_{n} + c_{n}}$ 的公差为 $\frac{5}{4} d$

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10. 对于任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，总存在 $b \in R$ ，使得 $| \sin^{2} x + a \sin x + b | \leq 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3, 1]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 $[- 3, 3]$ D、 $[- 1, 1]$

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二、填空题

11. $\sin 15 ° \cdot \cos 15 ° =$ ； $\sin 15 ° + \cos 15 ° =$ ．

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12. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{2} = 6$ ， $a_{3} = 8$ ，则 $q =$ ； $a_{n} =$ ．

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13. 已知 $\cos (\frac{π}{2} - θ) = \frac{3}{5}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan θ =$ ； $\tan 2 θ =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $A = 45^{\circ}$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $B =$ ； $S_{△ A B C} =$ ．

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15. 已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 2$ ，则 $x^{2} + 4 y^{2} + x y$ 的最小值是．

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16. 已知 $△ A B C$ 三条边上的高分别为3，4，6，则 $△ A B C$ 最小内角的余弦值为．

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17. 以 $O x$ 为始边作角 $α_{1}$ ，将 $α_{1}$ 的终边按照某种规律逆时针旋转得角 $α_{2}$ ，接下来按照同样的规律进行旋转， $\dots \dots$ ，依此类推， $α_{n}$ 的终边旋转得角 $α_{n + 1}$ ，已知 $α_{1} = \frac{π}{4}$ ， $\dots \dots$ ， $\tan α_{n + 1} = \frac{1}{\cos α_{n}}$ ．则 $\sin^{2} α_{1} \cdot \sin^{2} α_{2} \dots \dots \sin^{2} α_{n} =$ （用含 $n$ 的代数式表示）．

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三、解答题

18. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、已知 $f (α + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\tan (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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19. 已知 $a \in R$ ，若关于x的不等式 $(1 - a) x^{2} - 4 x + 6 > 0$ 的解集是 $(- 3, 1)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若关于x的不等式 $a x^{2} + b x + 3 \geq 0$ 在 $[0, 2]$ 上恒成立，求实数b的取值范围.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} = 6$ ， $S_{4} = 28$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b \sin A = - \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $S_{△ A B C} = \frac{3 - \sqrt{3}}{12} b^{2}$ ，求角C的大小．

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足， $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ ， $2^{a_{1}} + 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{n}} = 2^{1 + a_{n}} - 2$ ， $b_{n + 1} = \sqrt{\frac{2 S_{n}}{a_{n}^{2}}} \cdot b_{n} + 1$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、求证： $b_{n} \leq 2 n (n \in N^{*})$ ．

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