浙江省A9协作体2019-2020学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-03-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. sin 600°＋tan 240°的值等于（）

A、－ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、－ $\frac{1}{2}$ ＋ $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2}$ ＋ $\sqrt{3}$

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2. 若 ${a_{n}}$ 是等比数列，其公比是 $q$ ，且 $- a_{5} ， a_{4} ， a_{6}$ 成等差数列，则 $q$ 等于（）

A、－1或2 B、1或－2 C、1或2 D、－1或－2

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3. 已知sin(α＋45°)＝ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则sin2α等于（）

A、－ $\frac{4}{5}$ B、－ $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. y＝sin(2x- $\frac{π}{3}$ )－sin2x的一个单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{13 π}{12}]$ D、 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin B = 2 \sin A \cos C$ ，那么 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰直角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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6. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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7. 已知 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) - m$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、（1，2） B、[1，2] C、[1，2) D、（1，2]

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{16} > 0$ ，且 $S_{17} < 0$ ，则当 $S_{n}$ 最大时 $n$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、16

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9. 已知函数 $y = 2 \sin (ω x + θ) (ω > 0, 0 < θ < π)$ 为偶函数，其图象与直线 $y = 2$ 的交点的横坐标为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2 ， θ = \frac{π}{2}$ B、 $ω = \frac{1}{2} ， θ = \frac{π}{2}$ C、 $ω = \frac{1}{2} ， θ = \frac{π}{4}$ D、 $ω = 2 ， θ = \frac{π}{4}$

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n} (n \in N^{*})$ ， $T_{n} = \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{1 + a_{n}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，整数 $k$ 使得 $| T_{n} - k |$ 最小，则 $k$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. $\tan 15 °$ 的值是

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12. 已知一扇形的弧所对的圆心角为 $60^{\circ}$ ，半径 $r = 20 c m$ ，则扇形的周长为 $c m$ ．

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13. $\cos^{2} 75^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ} + \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}$ 的值等于.

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三、双空题

14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 n - 1 (n \geq 2)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是；令 $b_{n} = a_{n} + λ n$ 当 ${b_{n}}$ 为单调递增数列时，实数 $λ$ 的取值范围是

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15. $△ A B C$ 中，已知 $B = 60 °$ ， $A C = 3$ .

(1)、 $△ A B C$ 面积的最大值是

(2)、若 $△ A B C$ 有两解，则 $B C$ 的取值范围是

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16. $△ A B C$ 中， $\tan B = \frac{1}{3}$ ， $\tan C = - 2$ ，若 $B C$ 边上的高为 $1$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆面积是， $B C$ 边上的中线长为

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17. 边长为 $3$ 的等边 $△ A B C$ 中，边 $A C$ 上有 $D$ 、 $E$ 两点.

(1)、若 $D$ 、 $E$ 三等分 $A C$ ，则 $\cos ∠ D B E =$

(2)、若 $D$ 、 $E$ 在 $A C$ 上运动，且 $D E = 1$ ，则 $\tan ∠ D B E$ 的取值范围是

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四、解答题

18. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $\sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、若 $\sin (α - β) = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\cos β$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $m$ 个单位 $(m > 0)$ 后，所得图象关于原点对称，求 $m$ 的最小值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 128$ ， $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $S_{n} = 35$ ，求 $n$ 的值；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} (b_{n} + 3)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $T_{n}$ .

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21. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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22. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n - 1$ .

(1)、求证：存在 $n$ 的一次函数 $f (n)$ ，使得 ${a_{n} + f (n)}$ 成公比为2的等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、令 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + n)$ ，求证： $\frac{1}{b_{1}^{2}} + \frac{1}{b_{2}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n}^{2}} < \frac{5}{3}$ .

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