上海市华师大二附中2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：期中考试

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一、填空题

1. 函数 $y = \tan x$ 的对称中心是.

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2. 函数 $y = \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}), x \in [0, 2 π]$ 上的值域是.

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3. 函数 $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ 在 $[0, 2 π]$ 的递减区间是

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4. 已知函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ 的图象的一条对称轴是 $x = \frac{5 π}{3}$ ，若 $g (x) = a \sin x + \cos x =$ $A \sin (ω x + θ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < θ < π)$ 表示一个简谐运动，则其初相是.

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5. 已知函数 $f (x) = \sin x + \tan \frac{x}{2} + x^{3}, x \in (- 1, 1)$ ，则满足不等式 $f (a - 1) + f (2 a - 1) < 0$ 的实数 $a$ 的取值范围是.

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6. 设函数 $f (x) = \sin (4 x + \frac{π}{4})$ ， $x \in [0 ， \frac{9 π}{16}]$ ，若函数 $y = f (x) + a (a \in R)$ 恰有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是．

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7. 函数 $y = \sin^{2} x + 2 \cos x$ 在区间 $[- \frac{2}{3} π ， θ]$ 上的最小值是 $- \frac{1}{4}$ ，则 $θ$ 的取值范围是．

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8. 已知将函数 $f (x) = \sin (ω x + θ) (0 < ω < 6 ， - \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到画 $g (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的图象都关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $ω \cdot θ =$ .

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(\frac{17 π}{3} ， a)$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的最大值为.

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10. 已知函数 $f (x) = | cos x | \cdot sin x$ ，下列说法正确的是．
① $f (x)$ 图像关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称；
② $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
③ $f (x)$ 在区间 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减；
④ $f (x)$ 图像关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 中心对称；
⑤ $| f (x) |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ .

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $3 a^{2} = 2 b^{2} + c^{2}$ ，则 $\frac{S}{b^{2} + 2 c^{2}}$ 的最大值为．

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12. 函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 的图象与其对称轴在 $y$ 轴右侧的交点从左到右依次记为 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot A_{n} \cdot \cdot \cdot$ 在点列 ${A_{n}}$ ，中存在三个不同的点 $A_{k} ， A_{t} ， A_{p}$ 使得 $Δ A_{k} A_{t} A_{p}$ 是等腰直角三角形，将满足上述条件的 $ω$ 值从小到大组成的数列记为 ${ω_{n}}$ ，则 $ω_{2019} =$ .

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二、单选题

13. 函数 $f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$ 在 $[t ， 2 t]$ 上是减函数，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， π]$

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14. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 $\frac{π}{4}$ 米，肩宽约为 $\frac{π}{8}$ 米，“弓”所在圆的半径约为 $1.25$ 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、 $1.012$ 米 B、 $1.768$ 米 C、 $2.043$ 米 D、 $2.945$ 米

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15. 已知 $A$ 是函数 $f (x) = \sin (2020 x + \frac{π}{6}) + \cos (2020 x - \frac{π}{3})$ 的最大值，若存在实数 $x_{1} ， x_{2}$ 使得对任意实数 $x$ 总有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $A \cdot | x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{2020}$ B、 $\frac{π}{1010}$ C、 $\frac{π}{505}$ D、 $\frac{π}{4040}$

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16. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{6}) ， x \in [0 ， \frac{13}{3} π]$ ，若函数 $F (x) = f (x) - 3$ 的所有零点依次记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ... ， x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... < x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + ... + 2 x_{n - 1} + x_{n} =$ （）

A、 $\frac{50 π}{3}$ B、21π C、 $\frac{100 π}{3}$ D、42π

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 的两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $y = g (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上存在零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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18. 已知 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ，若其图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的函数为奇函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $(2 c - a) cos B = b cos A$ ，求 $f (A)$ 的取值范围．

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19. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.

(1)、求A、C两点间的距离；（精确到0.01）

(2)、某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P $\to$ C $\to$ A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．

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20. 对于定义域为R的函数 $y = f (x)$ ，部分 $x$ 与 $y$ 的对应关系如表：

x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

0

2

3

2

0

-1

0

2

(1)、求 $f {f [f (0)]}$ ：

(2)、数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 2$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，点 $(x_{n}, x_{n + 1})$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + x_{4 n}$

(3)、若 $y = f (x) = A \sin (ω x + φ) + b$ ，其中 $A > 0, 0 < ω < π, 0 < φ < π, 0 < b < 3$ ，求此函数的解析式，并求 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (3 n) (n \in N^{*})$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为 $π$ ，且直线 $x = - \frac{π}{2}$ 是其图象的一条对称轴．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $A < B < C$ ， $a = \cos B$ ，若 $C$ 角满足 $f (C) = - 1$ ，求 $a + b + c$ 的取值范围；

(3)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 $2$ 倍后所得到的图象对应的函数记作 $y = g (x)$ ，已知常数 $λ \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，且函数 $F (x) = f (x) + λ g (x)$ 在 $(0 ， n π)$ 内恰有 $2021$ 个零点，求常数 $λ$ 与 $n$ 的值．

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