上海市奉贤区2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知扇形的周长为 6 cm ，面积为 2 cm ² ，则扇形的圆心角的弧度数为.

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2. 函数 $f (x) = \log_{2} (5^{x} + 1)$ 的值域为.

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3. 已知 $f (x) = 3 x - 2$ ，则 $f^{- 1} [f (x)] =$ ； $f [f^{- 1} (x)] =$ .

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4. 若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan (β - α) = \frac{2}{5}$ ，则 $\tan (β - 2 α)$ =.

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5. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ .若 $a = \sqrt{2}, b = 2,$ $sin B + cos B = \sqrt{2}$ ，则角 $A$ 的大小为.

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6. 设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ,且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ,则 $m =$ .

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7. 已知sin $(α + \frac{π}{6})$ ＝ $\frac{1}{3}$ ，则cos $(\frac{2 π}{3} - 2 α)$ ＝．

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8. 设 $f^{- 1} (x)$ 是函数 $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ 的反函数，若 $[1 + f^{- 1} (a)] \cdot [1 + f^{- 1} (b)] = 8$ ，则 $f (a + b)$ 的值是.

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，如果 $a, b, c$ 成等差数列， $B = 30 °$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $0.5$ ，那么 $b$ 为.

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10. 已知 $\tan (\frac{π}{4} + θ) = 3$ ，则 $\sin 2 θ - 2 \cos^{2} θ$ 的值为

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11. 设 $α$ 为第四象限角，且 $\frac{sin 3 α}{sin α}$ ＝ $\frac{13}{5}$ ，则 $t a n 2 α ＝$ .

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12. 给出下列四个命题：
⑴函数 $f (x) = x | x | + b x + c$ 为奇函数的充要条件是 $c = 0$ ；

⑵函数 $y = 2^{- x} (x > 0)$ 的反函数是 $y = - \log_{2} x (0 < x < 1)$ ；

⑶若函数 $f (x) = \lg (x^{2} + a x - a)$ 的值域是 $R$ ，则 $a \leq - 4$ 或 $a \geq 0$ ；

⑷若函数 $y = f (x - 1)$ 是偶函数，则函数 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = 0$ 对称.

其中所有正确命题的序号是.

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二、单选题

13. 已知 $A$ 是 $Δ A B C$ 的内角，则“ $\cos A = \frac{1}{2}$ ”是“ $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 若 $α$ 是第二象限的角， $\sin \frac{α}{2} = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{21}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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15. 函数 $y = a + \log_{b} x$ 的图像如图所示，其中 $a$ 、 $b$ 为常数，则下列结论正确的是（）

A、 $a < 0$ ， $b > 1$ B、 $a > 0$ ， $b > 1$ C、 $a > 0$ ， $0 < b < 1$ D、 $a < 0$ ， $0 < b < 1$

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16. 不等式 $\log_{a} (x^{2} - 2 x + 3) \leq - 1$ 在 $x \in R$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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三、解答题

17. 已知sinα= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求tan（α+π）+ $\frac{\sin (\frac{5 π}{2} + α)}{\cos (\frac{5 π}{2} - α)}$ 的值．

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18. 已知 $2^{x} \leq 256$ 且 $\log_{2} x \geq \frac{1}{2}$ ，求函数 $f (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{x}}{2}$ 的最大值和最小值．

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19. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为 $\frac{π}{3} (∠ A C B = \frac{π}{3})$ ，墙 $A B$ 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记 $∠ A B C = θ$

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长（结果精确到0.01米）；

(2)、为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积， $Δ A B C$ 的面积尽可能大，当 $θ$ 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.

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20. 已知 $f (x)$ = $\frac{a 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，（ $a$ ∈ R）是R上的奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的反函数；

(3)、对任意的k∈(0, +∞)解不等式 $f {}^{- 1}{(x)}$ > $\log {}_{2}{^{\frac{1 + x}{k}}}$ .

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21. 已知 $f (x) = \frac{2 x - m}{x^{2} + 1}$ 定义在实数集 $R$ 上的函数，把方程 $f (x) = \frac{1}{x}$ 称为函数 $f (x)$ 的特征方程，特征方程的两个实根 $α$ ， $β$ $(α < β)$ 称为 $f (x)$ 的特征根.

(1)、讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)、求 $f (β) - f (α)$ 表达式；

(3)、把函数 $y = f (x)$ ， $x \in [α ， β]$ 的最大值记作 $\max f (x)$ 、最小值记作 $\min f (x)$ ，令 $g (m) = \max f (x) - \min f (x)$ ，若 $g (m) \leq λ \sqrt{m^{2} + 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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