吉林省长春市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 下列不等式中成立的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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4. 不等式 $x (4 - x) < 3$ 的解集为（）

A、 ${x | x < 1$ 或 $x > 3}$ B、 ${x | x < 0$ 或 $x > 4}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | 0 < x < 4}$

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5. 已知圆的一条直径的端点分别是 $A (0, 0)$ ， $B (2, 4)$ ，则此圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 5$ D、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 25$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 4, a_{4} = 2$ ，则 $S_{5}$ ＝（）

A、0 B、10 C、15 D、30

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7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $a_{1} - a_{3} = - 3$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、24

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8. 点 $A (\cos θ, \sin θ)$ 到直线 $3 x + 4 y - 4 = 0$ 距离的最大值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、1 D、 $\frac{9}{5}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，如果 $2 b = a + c$ ， $B = 30 °$ ， $△ A B C$ 面积为 $\frac{3}{2}$ ，那么 $b$ 等于（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 已知两点 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 6)$ ，动点M在直线 $y = x$ 上运动，则 $| M A | + | M B |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{26}$ C、4 D、5

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11. 已知数列{a_n}中，a_n+1=3S_n ，则下列关于{a_n}的说法正确的是（　　）

A、一定为等差数列 B、一定为等比数列 C、可能为等差数列，但不会为等比数列 D、可能为等比数列，但不会为等差数列

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 1$ ，则 $3 a + c$ 的最小值为（）

A、6 B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、9 D、 $6 + 4 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 直线 $y = k x - 2 k + 3$ 必过定点，该定点为．

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14. 设数列 ${b_{n}}$ 为等比数列.若 $b_{n} > 0$ ，且 $b_{5} b_{6} + b_{4} b_{7} = 4$ ，则 $b_{1} b_{2} ... b_{10} =$ .

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15. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 m y + 2 m^{2} - 2 m + 1 = 0$ .则实数 $m$ 的取值范围.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $n \cdot 3^{n + 1}$ .若 $a_{1} = 3$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 6 = 0$ ，直线 $l_{2} ： x + (a - 1) y + a^{2} - 1 = 0$

(1)、求a为何值时， $l_{1} / / l_{2}$

(2)、求a为何值时， $l_{1} ⊥ l_{2}$

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = - 12, a_{3} = - 8,$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$

(2)、当n取何值时，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取得最值，并求出最值．

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19. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB= $- \frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} + 2 m x + m + 2 \geq 0$ 的解集为 $R$ .

(1)、求函数 $f (m) = m + \frac{3}{m + 2}$ 的最小值；

(2)、解关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} + (m - 3) x - 3 m > 0$ .

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{a - c}{b - c} = \frac{\sin B}{\sin A + \sin C}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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22. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 2 a_{n + 1} - {(\frac{1}{2})}^{n}$ $(n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \log_{2} \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列 ${\frac{2}{c_{n} c_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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