广东省揭阳市产业园2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sin (- 240 °) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 2 \sqrt{5}, - \sqrt{5})$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 与向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ 垂直的向量是（）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(2 ， - 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 2)$

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4. 若 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 函数 $f (x) = - 2 \tan (x - \frac{π}{4})$ 的定义域为（）

A、 ${x | x \neq k π + \frac{3 π}{4} ， k \in Z}$ B、 ${x | x \neq k + \frac{3}{4} ， k \in Z}$ C、 ${x | x = k π + \frac{3}{4} π ， k \in Z}$ D、 ${x | x \neq k π + \frac{π}{4} ， k \in Z}$

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6. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - 3), \overset{⇀}{b} = (- 2, 0)$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、5

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7. 已知 $\overset{⇀}{A B} = (1, - 1)$ ， $C (0, 1)$ ，若 $\overset{⇀}{C D} = 2 \overset{⇀}{A B}$ ，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(2, - 1)$

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8. 为了得到函数 $y = \cos (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需把函数 $y = \cos 3 x$ 的图象上所有点（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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9. 函数 $y = 2 \cos x + 1 (x \in [0 ， 2 π])$ 的单调递减区间为（）

A、 $[0 ， 2 π]$ B、 $[0 ， π]$ C、 $[π ， 2 π]$ D、 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$

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10. 已知点 $A (- 1, 1), B (1, 2), C (- 2, - 1), D (3, 4)$ ，则向量 $\overset{⇀}{C D}$ 在 $\overset{⇀}{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $- 3 \sqrt{5}$

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11. 已知 $\sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (x + \frac{π}{6})$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ ，且 $f (0) = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (φ) = 2$ B、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $φ = \frac{π}{3}$ D、 $x = - \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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二、填空题

13. 函数 $y = \sin \frac{x}{3}$ 的最小正周期为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (t, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $t =$ .

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15. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1, - 1)$ , $\overset{⇀}{b} = (d, 1)$ ， $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为钝角，则 $d$ 的取值范围是;

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16. 在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ，若 $\vec{C E} = \vec{E D}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ .

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = 2 \sin (2 ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{5}{12} π]$ 上的值域.

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18. 已知角 $α$ 是第三象限角，且 $f (α) = \frac{\sin (π - α) \cos (2 π - α) \tan (α + π)}{\tan (- α - π) \sin (- π - α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $\sin (α - π) = \frac{1}{5},$ 求 $f (α)$ 的值；

(3)、若 $α = - 2 310 °$ ，求 $f (α)$ 的值．

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19. 已知向量 $\vec{O A} = (3, - 4)$ ， $\vec{O B} = (6, - 3)$ ， $\vec{O C} = (3 - m, 4 + m)$ ，向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若A、B、C三点共线，求 $| \vec{O C} |$ ；

(2)、求 $\sin θ$ .

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 ， A C = 6 ， ∠ B A C = 60 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B ， A C$ 上，且 $\vec{A B} = 2 \vec{A D} ， \vec{A C} = 3 \vec{A E}$ .

(1)、若 $\vec{B F} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，试用 $\vec{A D}$ ， $\vec{A E}$ 线性表示 $\vec{A F}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求 $\vec{A D} \cdot \vec{A F}$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = a \sin (2 x - \frac{π}{6}) - a + b (a ， b \in R ，且 a < 0)$ .

(1)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 5 ， 1]$ ，求实数a，b的值；

(2)、在（1）条件下，求函数 $f (x)$ 图像的对称中心.

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22. 已知 $\vec{a} ＝ (\cos α, \sin α) ， \vec{b} = (\cos β, \sin β)$ ， $0 < β < α < π$ .

(1)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c} = (0, 1)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，求 $α$ ， $β$ 的值.

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