山西省吕梁市交城县2019-2020学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若代数式 $\sqrt{x - \frac{1}{2}}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x < \frac{1}{2}$ C、 $x \geq \frac{1}{2}$ D、 $x > 2$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{\frac{a}{2}} = \sqrt{a}$ B、 $\sqrt{18} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{15} \div 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{15}$ D、 $- 3 \sqrt{3} = \sqrt{27}$

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3. 我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）

A、分类思想 B、方程思想 C、转化 D、数形结合

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，E是边 $C D$ 的中点，连接 $O E$ ．若∠ADC=∠EOC=45°，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 如图，在数轴上点B，点C表示的数分别为4，1， AC⊥BC，AC=1，以B点为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交数轴于点D，则D点表示的数是（）

A、 $4 - \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10} - 4$ D、 $4 - \sqrt{5}$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 、 $F$ 分别是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：① $B E = D F$ ；② $D E = B F$ ；③ $∠ B A E = ∠ D A F$ ；④ $∠ B C E = ∠ D A F$ .其中能判断四边形 $A E C F$ 是平行四边形的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A、测量对角线是否互相平分 B、测量两组对边是否分别相等 C、测量一组对角是否都为直角 D、测量三个角是否为直角

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8. 设 $\sqrt{2}$ =a， $\sqrt{3}$ =b，用含a，b的式子表示 $\sqrt{0.54}$ ，则下列表示正确的是（）

A、0.3ab B、3ab C、0.1ab² D、0.1a²b

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9. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 120 °$ ， $A B = 2$ .点 $E$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 、 $A F$ 、EF ，则 $Δ A E F$ 的周长为（）

A、9 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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10. 如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2019个小正方形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2^{2019}}$ B、 $\frac{1}{2^{2018}}$ C、 $\frac{1}{4038}$ D、 $\frac{1}{4036}$

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二、填空题

11. 若 $y = \sqrt{2 x - 4} + \sqrt{2 - x} - 3$ ，则 $x^{y}$ .

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12. 我国南宋著名数学家秦九少韶的著作《数书九章》记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜三里，中斜四里，大斜五里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田的面积有多大？题中“里”是我国市制单位，1里=500米，则沙田的面积为平方千米.

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13.
如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

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14. 如图，数轴上 $A$ 点表示的数是 $a$ ，化简 $a + \sqrt{a^{2} - 6 a + 9} =$ .

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15. 数学课上，小明给出了画菱形的一种方法，如图，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧相交于 $C$ 、 $D$ 两点，分别连接 $A C$ 、 $A D$ 、 $B C$ 、 $B D$ ，所得四边形 $A C B D$ 为菱形，这样做的依据是.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A B = 2$ ，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，将 $R t Δ O E F$ 绕点 $O$ 旋转，其中 $∠ E O F = 90 °$ ，两直角边 $O E$ 、 $O F$ 分别与边 $B C$ 、 $C D$ 相交于点 $P$ 、 $Q$ ，连接 $P Q$ .在旋转过程中 $P Q$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $(7 + 4 \sqrt{3}) (7 - 4 \sqrt{3}) - {(3 \sqrt{5} - 1)}^{2}$

(2)、已知 $a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$ ，.求： $a b^{3} - a^{3} b$ 的值.

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18. $Δ A B C$ 三边长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{10}$ 、 $\sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积，小明同学在求面积时先画了一个每个小正方形的边长均为1的正方形网格，再在网格中画出格点 $Δ A B C$ （ $Δ A B C$ 各个顶点都在网格的格点上）.如图1所示，这样借用网格（不需 $Δ A B C$ 的高）就能算出三角形的面积，这种方法叫构造法.

(1)、 $Δ A B C$ 的面积为.

(2)、若 $Δ O P Q$ 的三边长分别为 $O P = \sqrt{17}$ 、 $O Q = \sqrt{29}$ 、 $P Q = \sqrt{10}$ ，请在图2的网格中画出 $Δ O P Q$ ，使得 $Δ O P Q$ 的三个顶点都在格点上，求此三角形的面积.

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19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

求证：四边形AEBD是矩形．

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20. 已知 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $E$ 是斜边 $A C$ 上的中点，过点 $E$ 作 $B C$ 边上的垂线 $E D$ ，垂足为点 $D$ ，连接 $B E$ ，过点 $A$ 作 $A F / / B E$ 与 $D E$ 的延长线相交于点 $F$ .

(1)、找出图中与 $A F$ 相等的所有线段.

(2)、若 $A C = 5$ ， $A B = 3$ ，求四边形 $A B E F$ 的面积.

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21. 如图，为了修建某条高速铁路需凿通隧道AC，现量出∠A+∠B=∠C，AB=10km，BC=6km，若每天开凿隧道0.4km，问多少天才能把隧道AC凿通？

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22. 观察下列式子变形过程，完成下列任务：
$\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}} = \sqrt{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} - \frac{2}{n} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$

$= \sqrt{{(\frac{n + 1}{n})}^{2} - 2 \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}$

$= \sqrt{{(\frac{n + 1}{n} - \frac{1}{n + 1})}^{2}} = \frac{n + 1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

(1)、类比上述变形过程的基本思路，猜想 $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}}$ 的结果并验证；

(2)、算： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{99^{2}} + \frac{1}{100^{2}}}$ .

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23. 综合与实践
数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形 $A B D$ 与等腰直角三角形 $A C E$ ，其中 $A B = A D = A C = A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E = 90 °$ ，连接 $B C$ ， $M$ 、 $N$ 、 $G$ 分别为边 $B D$ 、 $C E$ 、 $B C$ 的中点，连接 $M G$ 、 $N G$ .

(1)、操作发现：
小红发现了： $G M$ 、 $G N$ 有一定的关系，数量关系为；位置关系为.

(2)、类比思考：
如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形 $A B D$ 绕点 $A$ 旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接 $D C$ 、 $E B$ 并延长交于一点 $F$ ）

深入探究：

在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形 $A B C$ ，其中 $A B > A C$ ，在三角形外侧以 $A B$ 为腰作等腰直角三角形 $A B D$ ，以 $A C$ 为腰作等腰直角三角形 $A C E$ ，分别取斜边 $B D$ 、 $C E$ 与边 $B C$ 的中点 $M$ 、 $N$ 、 $G$ ，连接 $G M$ 、 $G N$ 、 $M N$ ，试判断三角形 $G M N$ 的形状，并说明理由.

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