上海市杨浦区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 关于抛物线 $y = x^{2} - x$ ，下列说法中，正确的是（）

A、经过坐标原点 B、顶点是坐标原点 C、有最高点 D、对称轴是直线 $x = 1$

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2. 在 $△ A B C$ 中，如果 $\sin A = \frac{1}{2}$ ， $\cot B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么这个三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形

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3. 如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）

A、35° B、45° C、55° D、65°

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4. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，下列条件中，能判定 $D E // B C$ 的是（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ C、 $\frac{D B}{E C} = \frac{A E}{A D}$ D、 $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$

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5. 下列命题中，正确的是（）

A、如果 $\vec{e}$ 为单位向量，那么 $\vec{a} = | \vec{a} | \vec{e}$ B、如果 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 都是单位向量，那么 $\vec{a} = \vec{b}$ C、如果 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} // \vec{b}$ D、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，那么 $\vec{a} = \vec{b}$

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6. 在梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，下列说法中，错误的是（）

A、 $S_{△ A O B} = S_{△ D O C}$ B、 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ B O C}} = \frac{O D}{O B}$ C、 $\frac{S_{△ A O D}}{S_{△ B O C}} = \frac{O A}{O C}$ D、 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A B C}} = \frac{A D}{B C}$

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二、填空题

7. 计算： $3 (\vec{a} + 2 \vec{b}) - 2 (\vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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8. 已知抛物线 $y = (1 - a) x^{2} + 1$ 的开口向上，那么a的取值范围是．

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9. 如果小明沿着坡度为 $1 : 2.4$ 的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了米．

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10. 已知线段 $A B$ 的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（ $A P < B P$ ），那么线段 $A P$ 的长是厘米．

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11. 抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝．

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12. 已知抛物线 $y = x^{2}$ ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点 $A (2, 2)$ ，那么平移后的抛物线的表达式是．

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13. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为m．

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14. 如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $\frac{A E}{E B} = \frac{1}{2}$ ，联结 $D E$ 交对角线 $A C$ 于点O，那么 $\frac{A O}{O C}$ 的值为．

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15. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点G是 $△ A B C$ 的重心， $C G = 2$ ， $B C = 4$ ，那么 $\cos ∠ G C B =$ ．

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16. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $\cot B = \frac{1}{2}$ ，正方形 $D E F G$ 的顶点G、F分别在边 $A C$ 、 $B C$ 上，点D、E在斜边 $A B$ 上，那么正方形 $D E F G$ 的边长为．

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17. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 12$ ， $C D = 5$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ，那么边 $A D$ 的长为．

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18. 如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B₁、C₁处，如果BB₁//AC，联结C₁B₁交边AB于点D，那么 $\frac{B D}{B_{1} D}$ 的值为．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{\tan^{2} 60 ° - 2 \sin 30 °}{4 \cos^{2} 45^{\circ} + \cot 30^{\circ}}$ ．

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20. 已知一个二次函数的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (0 ， 3)$ 、 $C (2 ， 3)$ ．

(1)、求这个函数的解析式及对称轴；

(2)、如果点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 在这个二次函数图象上，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“<”或者“>”）

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21. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E // B C$ ，点M为边 $B C$ 上一点， $B M = \frac{1}{3} B C$ ，联结 $A M$ 交 $D E$ 于点N．

(1)、求 $\frac{D N}{N E}$ 的值；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A M} = \vec{b}$ ，如果 $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，请用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{N E}$ ．

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22. 如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在 $△ A B C$ 中，测得 $∠ B = 64 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $B C = 50$ 米，求河宽（即点A到边 $B C$ 的距离）（结果精确到0.1米）．
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sin 64 ° = 0.90$ ， $\cos 64 ° = 0.44$ ， $\tan 64 ° = 2.05$ ）

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23. 已知：如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ，对角线 $B D$ 、 $A C$ 相交于点E，过点A作 $A F // D C$ ，交对角线 $B D$ 于点F．

(1)、求证： $\frac{D F}{B D} = \frac{D E}{B E}$ ；

(2)、如果 $∠ A D B = ∠ A C D$ ，求证：线段 $C D$ 是线段 $D F$ 、 $B E$ 的比例中项．

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24. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - {(x - m)}^{2} + 4$ 与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点 $P (1 ， n)$ 在该抛物线上．

(1)、如果点P与点C重合，求线段 $A P$ 的长；

(2)、如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点， $\tan ∠ O P Q = 3$ ，求点Q的坐标；

(3)、如果直线 $P B$ 与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．

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25. 如图，已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点D为边 $B C$ 上一动点（与点B、C不重合），点E为边 $A B$ 上一点， $∠ E D B = ∠ A D C$ ，过点E作 $E F ⊥ A D$ ，垂足为点G，交射线 $A C$ 于点F．

(1)、如果点D为边 $B C$ 的中点，求 $∠ D A B$ 的正切值；

(2)、当点F在边 $A C$ 上时，设 $C D = x$ ， $C F = y$ ，求y关于x的函数解析式及定义域；

(3)、联结 $D F$ 如果 $△ C D F$ 与 $△ A G E$ 相似，求线段 $C D$ 的长．

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