上海市徐汇区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 将抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2}$ 先向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位后，所得抛物线的表达式是（）

A、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 2$ B、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} + 2$ C、 $y = 2 {(x + 4)}^{2} - 2$ D、 $y = 2 {(x + 4)}^{2} + 2$

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2. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $\tan C = \frac{4}{3}$ B、 $\cot C = \frac{4}{5}$ C、 $\sin C = \frac{3}{4}$ D、 $\cos C = \frac{4}{5}$

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3. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + c$ 经过点 $(4, 3)$ ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(0, 5)$

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4. 已知海面上一艘货轮 $A$ 在灯塔 $B$ 的北偏东 $30 °$ 方向，海监船 $C$ 在灯塔 $B$ 的正东方向 $5$ 海里处，此时海监船 $C$ 发现货轮 $A$ 在它的正北方向，那么海监船 $C$ 与货轮 $A$ 的距离是（）

A、 $10$ 海里 B、 $5 \sqrt{3}$ 海里 C、 $5$ 海里 D、 $\frac{5}{3} \sqrt{3}$ 海里

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5. 下列说法中，正确的是（）

A、两个矩形必相似 B、两个含 $45 °$ 角的等腰三角形必相似 C、两个菱形必相似 D、两个含 $30 °$ 角的直角三角形必相似

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6. 定义： $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数例如： $[1.7] = 1$ ， $[\frac{3}{5}] = 0$ ， $[- 2 \frac{1}{4}] = - 3$ 根据你学习函数的经验，下列关于函数 $y = [x]$ 的判断中，正确的是（）

A、函数 $y = [x]$ 的定义域是一切整数 B、函数 $y = [x]$ 的图像是经过原点的一条直线 C、点 $(2 \frac{2}{5} ， 2)$ 在函数 $y = [x]$ 图像上 D、函数 $y = [x]$ 的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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二、填空题

7. 如果 $a : b = 2 : 3$ ，那么代数式 $\frac{b - a}{a}$ 的值是．

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8. 如图， $A B / / C D / / E F$ ，如果 $A C = 2$ ， $C E = 3$ ， $B D = 1.5$ ，那么 $B F$ 的长是．

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9. 已知点 $P$ 在线段 $A B$ 上，如果 $A P^{2} = A B \cdot B P$ ， $A B = 4$ ，那么 $A P$ 的长是．

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10. 已知二次函数 $y = a {(x + \frac{3}{2})}^{2} - 1$ 的图像在直线 $x = - \frac{3}{2}$ 的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别在边 $A B ， A C$ 上， $D E / / B C$ ，如果 $△ A E D$ 和四边形 $D E C B$ 的面积相等， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，那么 DE的长是．

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12.
如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是米（结果保留根号）

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13. 已知甲、乙两楼相距 $30$ 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 $45 °$ ，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 $30 °$ ，那么甲楼高是米．

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14. 如图，点 $P$ 在线段 $B C$ 上， $A B ⊥ B C$ ， $D P ⊥ A P$ ， $C D ⊥ D P$ ，如果 $B C = 10$ ， $A B = 2$ ， $\tan C = \frac{1}{2}$ ，那么 $D P$ 的长是．

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，正方形 $D E F G$ 的顶点 $D ， E$ 分别在边 $A C ， A B$ 上，点 $F ， G$ 在边 $B C$ 上，那么 $A D$ 的长是．

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16. 《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 $A B C D$ 的面积是正方形 $E F G H$ 面积的 $13$ 倍，那么 $∠ A B E$ 的余切值是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E / / B C$ ，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折后与 $△ F D E$ 重合， $D F$ 、 $E F$ 分别与边 $B C$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，如果 $D E = 8$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}$ ，那么 $M N$ 的长是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 12$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $\sin ∠ A D E = \frac{4}{5}$ ， $E D = 5$ ，如果 $△ E C D$ 的面积是 $6$ ，那么 $B C$ 的长是．

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三、解答题

19. 计算： $\sin 45 ° \cot 45 ° - \tan 60 ° + | 2 \cos 45 ° - \cot 30 ° |$ ．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ， $A B = 1.2$ ， $B C = 1.8$ ．

(1)、求 $B F ： D F$ 的值；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C}$ = $\vec{b}$ ，求向量 $\vec{D F}$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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21. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C (0, 2)$ ，它的顶点为 $M$ ，对称轴是直线 $x = - 1$ ．

(1)、求此抛物线的表达式及点 $M$ 的坐标；

(2)、将上述抛物线向下平移 $m (m > 0)$ 个单位，所得新抛物线经过原点 $O$ ，设新抛物线的顶点为 $N$ ，请判断 $△ M O N$ 的形状，并说明理由．

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22. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时 $60$ 千米的道路 $A B$ （如图所示），当无人机在限速道路的正上方 $C$ 处时，测得限速道路的起点 $A$ 的俯角是 $37 °$ ，无人机继续向右水平飞行 $220$ 米到达 $D$ 处，此时又测得起点 $A$ 的俯角是 $30 °$ ，同时测得限速道路终点 $B$ 的俯角是 $45 °$ （注：即四边形 $A B D C$ 是梯形）．

(1)、求限速道路 $A B$ 的长（精确到 $1$ 米）；

(2)、如果李师傅在道路 $A B$ 上行驶的时间是 $1$ 分 $20$ 秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 如图，在 $△ A C B$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上， $A D = A B$ ， $B E = C E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，且 $A F \cdot D F = B F \cdot E F$ ．

求证：

(1)、 $∠ A D C = ∠ B E C$ ；

(2)、 $A F \cdot C D = E F \cdot A C$ ．

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24. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + a + 4 (a < 0)$ 的大致图像如图所示，这个函数图象的顶点为点 $D$ ．

(1)、求该函数图象的开口方向、对称轴及点 $D$ 的坐标；

(2)、设该函数图象与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ ，图像的对称轴与 $x$ 轴交于点 $A$ ，如果 $D C ⊥ B C$ ， $\tan ∠ D B C = \frac{1}{3}$ ，求该二次函数的解析式；

(3)、在（2）的条件下，设点 $M$ 在第一象限该函数的图象上，且点 $M$ 的横坐标为 $t (t > 1)$ ，如果 $Δ A C M$ 的面积是 $\frac{25}{8}$ ，求点 $M$ 的坐标．

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25. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上的动点，以 $C D$ 为边在 $△ A B C$ 外作正方形 $C D E F$ ，分别联结 $A E$ 、 $B E$ ， $B E$ 与 $A C$ 交于点 $G$ ．

(1)、当 $A E ⊥ B E$ 时，求正方形 $C D E F$ 的面积；

(2)、延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，如果 $△ B E H$ 和 $△ A B G$ 相似，求 $\sin ∠ A B E$ 的值；

(3)、当 $A G = A E$ 时，求 $C D$ 的长．

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