湖南省a佳教育湖湘名校2019-2020学年高一下学期数学3月检测试卷

试卷更新日期：2021-03-17 类型：月考试卷

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一、填空题

1. 计算： $- {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 8^{\frac{2}{3}} =$ .

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2. 已知 $M (7, 3)$ ， $N (- 1, 5)$ 则线段MN的垂直平分线方程是.

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3. $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点均在球 $O$ 表面上，且 $D A ⊥$ 平面 $D B C$ ， $B D ⊥ C D$ ， $A D = 3$ ， $B D = 4$ ， $C D = 5$ 则球 $O$ 的表面积为.

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4. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x - x^{2} ⩾ 0 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $(0 ， \frac{1}{2})$ 内恒成立，则a的取值范围是.

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二、解答题

5. 设集合 $A = {x | - 3 ⩽ x < 2}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、设 $C = {x | m + 3 < x < 2 m - 1}$ 且 $A \cap C = C$ ，求 $m$ 的取值范围.

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6. 已知 $f (x) = 2 x + \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，其图象过 $P (2, 5)$ .

(1)、求 $a$ 的值：

(2)、若 $f (2 m + 3) - f (3 m - 5) > 0$ ，求 $m$ 的取值范围.

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7. 已知如图甲，在矩形 $A A_{1} B_{1} B$ 中， $A B > \frac{1}{2} A A_{1}$ ， $C$ ， $C_{1}$ 分别在 $A B$ ， $A_{1} B_{1}$ 上，且 $A C = A_{1} C_{1} = \frac{1}{2} A A_{1}$ .现将四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 沿 $C C_{1}$ 折起，使平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 得到几何体乙，设 $D$ ， $E$ 分别为 $A A_{1}$ ， $B C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证： $B D ⊥ D C_{1}$ .

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8. 在平面直角坐标系中，已知 $M_{1} (- 3, 0)$ ， $M_{2} (3, 0)$ ，动点 $M (x, y)$ 满足 $\frac{| M M_{1} |}{| M M_{2} |} = 2$ 记 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程：

(2)、设直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $A B$ 的中点 $N (6, - 2)$ ，求 $S_{Δ O A B} (O$ 为坐标原点）.

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9. 在正四棱锥（把底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥，称作正四棱锥） $P - A B C D$ 中， $P A = A B$ ， $E$ 在线段 $P B$ 上.

(1)、判断平面 $A E C$ 与平面 $P B D$ 是否垂直，并证明；

(2)、设 $P A = 2$ ，若棱锥 $E - A B C$ 的体积 $V = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ ，求直线 $O E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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10. 已知 $f (x) = | x - a | + 2$ ， $g (x) = \frac{m}{x}$ .

(1)、记 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，当 $a = - 4$ ， $m = 1$ 时，求 $h (x)$ 在 $(- 4$ ， $2]$ 的值域；

(2)、当 $a = 3$ 时，讨论方程 $f (x) = g (x)$ 的解的个数.

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