广西南宁市三十六中2019-2020学年高一下学期数学3月月考试卷

试卷更新日期：2021-03-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 以点 $(2 ， - 3)$ 为圆心，3为半径的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$

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2. 在空间直角坐标系中，点 $A (1 ， 4 ， 2)$ 和 $B (- 3 ， - 2 ， 1)$ 之间的距离为（）

A、9 B、 $\sqrt{41}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $\sqrt{53}$

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3. 已知 $α$ 是第二象限的角，那么 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第一或第二象限角 D、第一或第三象限角

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4. 设 $α$ 为第三象限角，则点 $P (\cos α ， t a n α)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 直线 $3 x - y - 2 = 0$ 与直线 $a x + 2 y + 2 = 0$ 平行，则两平行直线的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ 和圆 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的公切线有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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7. 已知扇形的弧长为 $8$ ，半径为 $4$ ，则其面积为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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8. 已知角 $θ$ 的终边过点 $P {(- 4 k ， 3 k)}_{} (k < 0)$ ，则 $2 \sin θ + \cos θ$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ 或 $- \frac{2}{5}$ D、随着k的取值不同其值不同

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9. 过点（2，1）的直线中，被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 截得的弦长最大的直线方程是（）

A、 $3 x - y - 5 = 0$ B、 $3 x - y - 7 = 0$ C、 $x + 3 y - 5 = 0$ D、 $x + 3 y + 5 = 0$

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10. 函数 $y = \sqrt{2 \cos x + 1}$ 的定义域是 $($ $)$

A、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π + \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π - \frac{2 π}{3} ， 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$

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11. 若圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = R^{2}$ 上有且仅有两个点到直线 $4 x + 3 y - 11 = 0$ 的距离等于1，则半径 $R$ 的取值范围是（）

A、 $1 < R < 2$ B、 $R < 3$ C、 $1 < R < 3$ D、 $R \neq 2$

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12. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20} - \sqrt{x^{2} + 1}$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{5} - 1$ D、 $2 \sqrt{5} + 1$

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二、填空题

13. 计算： $2 \cos \frac{π}{2} - \sin \frac{2 π}{3} =$

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14. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{\sin α - \cos α} =$ ．

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15. 圆M：x²+y²+2x﹣3＝0与圆N：x²+y²﹣2y＝0的公共弦长为

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16. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，若直线 $y = k x + 4$ 总存在点 $P$ ，使得过点 $P$ 作圆的两条切线互相垂直，则实数 $k$ 的取值范围是_．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (- 1 ， 4)$ ， $B (- 2 ， - 1)$ ， $M (0 ， 1)$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求直线 $A C$ 的方程；

(2)、求 $A C$ 边上的高所在直线的方程.

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18. 已知 $\sin α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $α$ 是第四象限的角．

(1)、求 $\tan α$ ；

(2)、 $\sin^{2} α - \sin α \cos α + 2 \cos^{2} α$ ．

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19. 已知圆C₁：x²+y²=1与圆C₂：x²+y²﹣6x+m=0．

(1)、若圆C₁与圆C₂外切，求实数m的值；

(2)、在（1）的条件下，若直线x+2y+n=0与圆C₂的相交弦长为2 $\sqrt{3}$ ，求实数n的值．

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20. 已知圆 $M$ 过 $C (1 ， - 1)$ ， $D (- 1 ， 1)$ 两点，且圆心 $M$ 在 $x + y + 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是直线 $3 x + 4 y - 18 = 0$ 上的动点， $P A$ 、 $P B$ 是圆 $M$ 的两条切线， $A$ 、 $B$ 为切点，求四边形 $P A M B$ 面积的最小值．

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21. 已知 $f (α) = \frac{\sin (2 π - α) \cos (π + α) \cos (\frac{π}{2} - α) \cos (\frac{11 π}{2} - α)}{\sin (3 π - α) \cos (\frac{π}{2} + α) \sin (\frac{9 π}{2} + α)}$

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (\frac{π}{3} - α) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos (\frac{2 π}{3} + α)$ 的值．

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22. 已知 $A (1 ， 0) ， B (- 2 ， 0)$ ，动点 $M (x ， y)$ 满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{1}{2}$ 设动点M的轨迹为C．

(1)、求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；

(2)、求动点M与定点B连线的斜率的最值；

(3)、设直线 $l ： y = x + m$ 交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段 $P Q$ 为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

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