安徽省宣城七校2019-2020学年高一下学期理数联考试卷

试卷更新日期：2021-03-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $\sin \frac{π}{12} \cos \frac{π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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2. 关于x的不等式 $- x^{2} + 4 x + 5 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5, 1)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$

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3. 下列命题中，错误的命题为（）

A、如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行 B、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 C、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 D、过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行

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4. 已知 $0 < a < 1$ ， $b > 0$ ，则下列各式正确的是（）

A、 $a b > b > a^{2} b$ B、 $a b > a^{2} b > b$ C、 $b > a b > a^{2} b$ D、 $b > a^{2} b > a b$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 31 - 3 n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、158 B、176 C、135 D、145

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 $c^{2} = 2 a^{2} + b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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7. 在前n项和为 $S_{n}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} a_{4} a_{5} = 8$ ， $S_{14} = 129 S_{7}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 已知 $\tan α \tan β = m$ ， $\cos (α - β) = n$ ，则 $\cos (α + β) =$ （）

A、 $\frac{2 n (1 - m)}{m + 1}$ B、 $\frac{n (1 - m)}{m + 1}$ C、 $\frac{6 n (1 - m)}{m + 1}$ D、 $\frac{n (m - 1)}{m + 1}$

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9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 共有 $2 n (n \in N^{*})$ 项，若数列 ${a_{n}}$ 中奇数项的和为 $190$ ，偶数项的和为 $210$ ， $a_{1} = 1$ ，则公差 $d$ 的值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10. 如图，在六棱锥 $O - A B C D E F$ 中，底面ABCDEF为正六边形， $O A = A B$ ， $O A ⊥$ 底面ABCDEF，P为OD的中点，Q为OE的中点，下列说法正确的是（）

A、 $△ O A B$ 的面积大于 $△ O C D$ 的面积 B、直线AP与直线BQ互为异面直线 C、平面OBC与平面OAF垂直 D、直线OC与平面ABCDEF所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + y = 2 x y$ ，若 $x + a y$ 的最小值为8，则正实数a的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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12. 如图，在体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为边长为2的正方形， $△ P A B$ 为等边三角形，二面角 $P - A B - C$ 为锐角，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $B = 15 °$ ， $C = 45 °$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 中最长的边的边长为.

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14. 已知圆锥的侧面积为 $15 π$ ，高为4，则圆锥的底面半径为.

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15. 已知锐角 $θ$ 满足 $\cos (θ + \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin (θ + \frac{5 π}{12}) =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q (q ⩾ 2)$ 的正项等比数列， $b_{n} = {(q - 1)}^{2} a_{n}$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} = a_{m}$ ，则q的值为.

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a (a \in R)$ .

(1)、解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $x \in R$ 时， $f (x) + x ⩾ 0$ 恒成立求实数a的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C = 2 \sin A \sin B \sin C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{5}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $1$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $A A_{1} = 2 A B$ .

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{1} = a_{4} - 7$ ，且 $a_{1}$ 、 $a_{2} - 1$ 、 $a_{3}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $1 < a_{1} < 3$ ，令 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n + t} (n \in N^{*})$ ，若数列 ${b_{n}}$ 成等差数列，求正数t的值.

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21. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $E$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、若 $M$ 为 $A B$ 的中点，请问线段 $P C$ 上是否存在一点 $N$ ，使得 $M N ||$ 平面 $B D E$ ？若存在，请说明点N的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由.

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22. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n} S_{n + 1} - a_{n + 1} S_{n} = 2 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、求证： ${\frac{S_{n} + 2}{a_{n}}}$ 为常数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、记 $b_{n} = n a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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