安徽省示范高中2019-2020学年高一下学期数学统一考试试卷

试卷更新日期：2021-03-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - x < 1}$ ， $B = {x | x - 2 > 0}$ ．则（）

A、 $A \cap B = {x | - 1 < x < 2}$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $A \cup B = {x | x > 2}$ D、 $A \supseteq B$

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2. 已知一扇形的半径为2，面积为2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）

A、π B、2π C、2 D、1

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3. 在下列区间中，函数 $f (x) = 4^{x} + x^{3} - 17$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $| \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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5. 将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是（）

A、互斥但不对立事件 B、对立事件 C、既不互斥又不对立事件 D、以上都不对

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6. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形， $B C ＝ 2 A B ＝ 4$ ， $A B ⊥ B C$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 在 $△ O A B$ 中，点C满足 $\vec{A C} = - 4 \vec{C B}$ ， $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则 $y - x =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-1 D、1

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8. 计算 $1 + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \dots + \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10}$ ，执行如图所示的程序根图，若输入的 $N = 10$ ，则图中①②应分别填入（）

A、 $T = \frac{1}{k}$ ， $k > N$ B、 $T = \frac{1}{k}$ ， $k \geq N$ C、 $T = \frac{T}{k}$ ， $k > N$ D、 $T = \frac{T}{k}$ ， $k \geq N$

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9. 已知A、B、C三点均在球O的表面上，且球O的半径为 $2 \sqrt{2}$ ，若 $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ．则三棱锥 $O - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 1 (x < 0) ， \\ \ln (x + 1) + a (x \geq 0) \end{array}$ 的值城为R，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， \frac{3π}{2})$ 上无零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{9}] \cup [\frac{8}{9} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{2}{9}] \cup [\frac{2}{3} ， \frac{8}{9}]$ C、 $(0 ， \frac{2}{9}] \cup [\frac{8}{9} ， 1]$ D、 $(\frac{2}{9} ， \frac{8}{9}] \cup [1 ， + \infty)$

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12. 已知 $k \in (0.9, 1)$ ， ${0.3}^{x} = 3^{y} = k$ ，现有下述四个结论：
① $x > 0$ ；② $y > 0$ ；③ $x + y > x y$ ；④ $x + y < x y$ ．

其中所有正确结论的编号是（）

A、①④ B、①③ C、①②④ D、①②③

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + y + a = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + y = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{2}$ ，则实数a的值为.

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14. 圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 关于直线 $x = 1$ 对称的圆的标准方程为.

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15. 若函数 $f (x) = \cos x \cdot \ln (\sqrt{x^{2} + m} + x)$ 为奇函数，则 $m =$ ．

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16. 设 $α$ 为锐角，若 $\cos (α + \frac{π}{8}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ .

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三、解答题

17.

(1)、从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，求a+b为奇数的概率；

(2)、已知 $a \in [- 5 ， 5]$ ，关于x的一元二次方程 $x^{2} - a x + 4 = 0$ ，求此方程没有实根的概率．

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = C C_{1}$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是棱AB，AA₁ ， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} C ⊥ C_{1} E$ .

(2)、证明：平面 $D E F //$ 平面 $B_{1} G H$ .

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19. 某校为了解高一1000名学生的物理成绩，随机抽查部分学生期中考试的成绩，将数据分成 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 4组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值；

(2)、根据频率分布直方图，估计这次物理成绩的平均分（用组中值代替各组数据的平均值）；

(3)、若在本次考试中，规定物理成绩比平均分高15分以上的为优秀，估计该校学生物理成绩的优秀率（用百分数表示）．

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20. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $D A = D C = A C = 4$ ，平面 $A D C ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 在棱 $B C$ 上.

(1)、若 $M$ 为 $B C$ 的中点，证明： $B C ⊥ D M$ ；

(2)、若三棱锥 $A - C D M$ 的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $M$ 到平面 $A B D$ 的距离.

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21. 某水果批发商经销某种水果（以下简称 $A$ 水果），购入价为300元/袋，并以360元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的 $A$ 水果没有售完，则批发商将没售完的 $A$ 水果以220元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把 $A$ 水果低价处理完，且当天不再购入）.该水果批发商根据往年的销量，统计了100天 $A$ 水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.

记 $x$ 表示 $A$ 水果一天前8小时内的销售量， $y$ 表示水果批发商一天经营 $A$ 水果的利润， $n$ 表示水果批发商一天批发 $A$ 水果的袋数.

(1)、若 $n = 16$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式；

(2)、假设这100天中水果批发商每天购入 $A$ 水果15袋或者16袋，分别计算该水果批发商这100天经营 $A$ 水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入 $A$ 水果15袋还是16袋？

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22. 过点 $P (1, 0)$ 作圆 $Q : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ 的两条互相垂直的弦AB与CD．

(1)、当 $| A B | = 2 \sqrt{5}$ 时，求直线AB的方程；

(2)、当四边形ACBD的面积取得最大时，求直线AB的方程．

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