高中数学人教A版选修1-1 导数的性质及其应用课后测试

试卷更新日期：2021-03-17 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知直线y=x+1与曲线 $y = \ln (x + a)$ 相切，则a的值为（）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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2. 函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(0 ， \sqrt{e})$ B、 $(\frac{\sqrt{e}}{e} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{e} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{e}}{e})$

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3. 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是（）

A、y＝sin x B、y＝xe² C、y＝x³－x D、y＝ln x－x

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4. 已知定义在R上的函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x + \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 3 x - 2$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = 2 x - 1$ D、 $y = - 2 x + 3$

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5. 函数 $f (x) = \ln x^{2} - x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有导函数， $f (x)$ 图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $f^{'} (a) < f^{'} (b) < f^{'} (c)$ B、 $f^{'} (b) < f^{'} (c) < f^{'} (a)$ C、 $f^{'} (a) < f^{'} (c) < f^{'} (b)$ D、 $f^{'} (c) < f^{'} (a) < f^{'} (b)$

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7. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - a$ ，若 $\exists x > 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， e]$

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8. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + (8 - a) x - 5 (a \in R)$ ，若存在唯一的正整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{15} ， \frac{1}{6}]$ B、 $(\frac{1}{15} ， \frac{1}{4}]$ C、 $(\frac{1}{12} ， \frac{1}{3}]$ D、 $(\frac{1}{12} ， \frac{1}{5}]$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x \cdot \cos x$ ， $x \in R$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(π ， f (π))$ 处的切线方程为 $x + y = 0$ D、在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上， $f (x)$ 单调递增

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10. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下面判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 1)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 在 $(1 ， 3)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上是增函数 D、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取得极小值

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11. 设 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是单调函数，其导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) > 0$ ，则 $h (x)$ 单调递增； B、若 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，则 $h (x)$ 单调递增； C、 $f^{'} (x) < 0$ ， $g^{'} (x) > 0$ ，则 $h (x)$ 单调递减； D、若 $f^{'} (x) < 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，则 $h (x)$ 单调递减；

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12. 下列命题正确的是（）

A、若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处无切线 B、函数 $y = f (x)$ 的切线与函数的图象可以有两个公共点 C、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $2 x - y = 0$ ，则当 $Δ x \to 0$ 时， $\frac{f (1) - f (1 + Δ x)}{2 Δ x} = 1$ D、若函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x) = x^{2} - 2$ ，且 $f (1) = 2$ ，则 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 3 = 0$

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三、填空题

13. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $f (1) + 2 f^{'} (1)$ 的值为.

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14. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = e^{- x - 2} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为．

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15. 函数f(x)＝x³－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3$ 在区间 $(m ， m + 3)$ 上存在极大值与极小值，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - a \ln x$ ．
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上的极值．

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x + m x^{2} + 1$ ， $m \in R$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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19. 已知函数 $f (x) = m x + n \sqrt{x}$ 的图象在 $x = \frac{1}{4}$ 处的切线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a \ln x$ 在 $x \in (1, + \infty)$ 上有解，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = a x + \ln x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，不等式 $x e^{x} + 1 > f (x) + m$ 对于任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + (2 a - 3) x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- 1 ， 1)$ ，求实数a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 内单调递减，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + 2 a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，当 $x_{2} > e x_{1}$ 时，均有 $f (x_{1}) - \frac{λ}{2} x_{1}^{2} > f (x_{2}) - \frac{λ}{2} x_{2}^{2}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围（ $e$ 为自然对数的底数）

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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