人教A版高中数学必修5 1.1 正弦定理和余弦定理

试卷更新日期：2021-03-17 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在 $Δ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + b c$ ，则 $A =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{b}{a} = 2 \sin B$ ，则角 $A =$ （）

A、30°或60° B、45°或60° C、120°或60° D、30°或150°

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3. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = 2 c \sin B$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $9 \sqrt{15}$ B、 $\frac{9 \sqrt{15}}{16}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $A = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， $b = 4$ ， $c = 2$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{3}$ ，则a等于（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{7}$ 或 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\sqrt{3} \sin A + \cos A = 1$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则边 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{10}$ D、4

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，点D在边 $A C$ 上，已知 $A = \frac{π}{3} ， A D = 5 ， B D = 7$ ， $c \sin B = b \cos \frac{C}{2}$ ，则 $B C =$ （）

A、8 B、10 C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $\sin B =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 a，b，c， $A = \frac{π}{3}$ ，a=2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（）

A、1 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、3

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10. 在 $△ A B C$ 中，下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、存在 $△ A B C$ 满足 $\cos A + \cos B \leq 0$ C、若 $\sin A < \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、若 $C > \frac{π}{2}$ ，则 $\sin C > \sin^{2} A + \sin^{2} B$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a : b : c = 4 : 5 : 6$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ B、 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的 $2$ 倍 D、若 $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$

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12. 下列命题中，正确的是（）

A、在 $Δ A B C$ 中， $A > B$ ， $∴ \sin A > \sin B$ B、在锐角 $Δ A B C$ 中，不等式 $\sin A > \cos B$ 恒成立 C、在 $Δ A B C$ 中，若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $Δ A B C$ 必是等腰直角三角形 D、在 $Δ A B C$ 中，若 $B = 60^{0}$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $Δ A B C$ 必是等边三角形

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $\cos A =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{a}{\sin B} + \frac{b}{\sin A} = 2 c$ ，则 $△ A B C$ 是三角形．

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15. 已知△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $c = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，且△ $A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $b =$ ； $\cos C =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若满足 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 3$ 的 $△ A B C$ 有且仅有一个，则边 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图， $D$ 是直角 $△$ $A B C$ 斜边 $B C$ 上一点， $A C = \sqrt{3} D C$ ．

(1)、若 $∠ D A C = 30 °$ ，求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D = 2 D C$ ，且 $D C = 3 ，$ 求 $A D$ 的长．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $a \cos A = R$ ，其中 $R$ 为 $△ A B C$ 外接圆的半径.
（Ⅰ）求 $A$ ；

（Ⅱ）若 $b - a = 1$ ， $\tan B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 在 $△ A B C$ C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知 $b = c \cdot \cos A + \frac{a}{2}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，分别求a+b、 $\sin A + \sin B$ 的值．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{1}{a}$ ，且 $a = 4, b > a > c$ ．

(1)、求 $b c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\cos B$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos B = (2 c - b) \cos A$ .

(1)、求A；

(2)、已知 $b = 3$ ，若 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ 且 $| \vec{A M} | = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) \cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角 $△ A B C$ 中，若 $\sin A \sin C - \sin^{2} C = \sin^{2} A - \sin^{2} B$ ，求 $f (B)$ 的值.

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