湖北省鄂州市2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列校徽图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 分式 $\frac{1}{3 - x}$ 有意义时 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq 3$ D、 $x > 3$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$ D、 ${(- 2 x^{3})}^{2} = 4 x^{5}$

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4. 纳米（nm）是非常小的长度单位， $1 nm = 10^{- 9} m$ ．专家们研究证实，新型冠状病毒的直径大约为128纳米，即0.000000128米．该直径用科学记数法表示为（）米

A、 $1.28 \times 10^{2}$ B、 $1.28 \times 10^{- 9}$ C、 $1.28 \times 10^{- 8}$ D、 $1.28 \times 10^{- 7}$

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5. 如图的三角形纸片中， $A B = 8 cm$ ， $B C = 6 cm$ ．沿过点 $B$ 的直线折叠这个三角形，使点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $E$ 处，折痕为 $B D$ ，若 $△ A E D$ 的周长为7cm，则 $A C$ 的长为（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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6. 一个等腰三角形的两边长分别为3、7，则它的周长为（）

A、17 B、13或17 C、13 D、10

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7. 我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．根据图中的数字排列规律 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值分别为（）

A、1，6，15 B、6，15，20 C、20，15，6 D、15，6，1

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8. 用图1的面积可以验证多项式的乘法运算 $(2 a + b) (a + b) = 2 a^{2} + 3 a b + b^{2}$ ，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（）

A、 $(a + 4 b) (a + b) = a^{2} + 5 a b + 4 b^{2}$ B、 $(a - 4 b) (a + b) = a^{2} - 3 a b + 4 b^{2}$ C、 $(a + 4 b) (a + b) = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}$ D、 $(a + 3 b) (a + b) = a^{2} + 4 a b + 3 b^{2}$

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9. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{10}{x}$ - $\frac{10}{2 x}$ =20 B、 $\frac{10}{2 x}$ - $\frac{10}{x}$ =20 C、 $\frac{10}{x}$ - $\frac{10}{2 x}$ = $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{10}{2 x} -$ $\frac{10}{x}$ = $\frac{1}{3}$

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10. 如图，在等腰 $Rt △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $Rt △ A B C$ 内一点，且 $∠ B D C = 90 °$ ，若 $C D$ 长为6，则 $△ A C D$ 的面积为（）

A、12 B、16 C、18 D、24

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二、填空题

11. 点 $P (3, 6)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是．

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12. 若分式 $\frac{x - 1}{x}$ 的值为0，则 $x$ 的值为.

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13. 一个 $n$ 边形的内角和等于外角和的2倍，则其边数 $n$ 为．

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14. 如图， $△ A B C$ 的 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线 $B E$ ， $C F$ 相交于点 $G$ ，若 $∠ A = 66 °$ ，则 $∠ B G C$ 的度数为．

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15. 计算 $28 x^{4} y^{3} \div 4 x^{3} y^{- 2}$ 结果为．

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16. 代数式 $9 x^{2} + m x + 4$ 是个完全平方式，则m的值为

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17. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{3 - x} = 2 - \frac{m}{3 - x}$ 的解为正数，则常数 $m$ 的取值范围是．

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18. 如图，点 $A$ 为线段 $B C$ 外一动点， $B C = 4$ ， $A B = 1$ ，分别以 $A C$ 、 $A B$ 为边作等边 $△ A C D$ 、等边 $△ A B E$ ，连接 $B D$ ．则线段 $B D$ 长的最大值为．

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三、解答题

19. 分解因式：

(1)、 $a x^{2} + 2 a x y + a y^{2}$

(2)、 $16 y^{4} - 1$

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20. 先化简，再求值：
$(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x}$ ，其中 $x = 5$ ．

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21. 将 $Rt △ A B C$ 的直角顶点 $C$ 置于直线 $l$ 上， $A C = B C$ ，分别过点 $A$ 、 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为点 $D$ 、 $E$ ，连接 $A E$ ．若 $B E = 3$ ， $D E = 5$ ．求 $△ A C E$ 的面积．

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22. $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图，点 $A (0 ， 4)$ ，点 $B (2 ， 2)$ ，点 $C (1 ， 1)$ ．

（ 1 ）将 $△ A B C$ 向左平移4个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ），画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

（ 2 ） $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于 $x$ 轴对称（点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的对称点分别为 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ ），画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

（ 3 ）在 $x$ 轴上画出一点 $P$ ，使 $P A + P A_{1}$ 的值最小，直接写出点 $P$ 的坐标为_▲_．

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23. 观察下列等式：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ．

将以上三个等式左、右两边分别相加得：

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(1)、若 $n$ 为正整数，猜想并填空： $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

(2)、计算 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \dots \dots + \frac{1}{2020 \times 2021}$ 的结果为．

(3)、解分式方程： $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{1}{(x - 3) (x - 4)} = \frac{2}{x - 1}$ ．

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是直线 $B C$ 上一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），以 $A D$ 为一边在 $A D$ 的右侧作 $△ A D E$ ，使 $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上，如果 $∠ B A C = 90 °$ ，则 $∠ B C E =$ 度．

(2)、设 $∠ B A C = α$ ， $∠ B C E = β$ ．
①如图，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上移动时， $α$ 、 $β$ 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

②如图，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的反向延长线上移动时， $α$ 、 $β$ 之间有怎样的数量关系？请说明理由．

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25. 鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．

(1)、求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？

(2)、若甲工程队单独施工 $a$ 天，再由甲、乙两工程队合作天（用含有 $a$ 的代数式表示）可完成此项工程．

(3)、现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？

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26. 在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， a)$ ，点 $B (b ， 0)$ ，点 $C (- 3 ， 0)$ ，且 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} - 6 a + 9 + | a - b | = 0$ ．

(1)、点 $A$ 坐标为，点 $B$ 坐标为， $△ A B C$ 是三角形．

(2)、如图，过点 $A$ 作射线 $l$ （射线 $l$ 与边 $B C$ 有交点），过点 $B$ 作 $B D ⊥ l$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ l$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D C$ 于点 $F$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ．

①求证： $B D = A E$ ；

②求点 $G$ 的坐标．

(3)、如图，点 $P$ 是 $x$ 轴正半轴上一动点， $∠ A P O$ 的角平分线交 $y$ 轴于点 $Q$ ，点 $M$ 为线段 $O P$ 上一点，过点 $M$ 作 $M N // P Q$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ；若 $∠ A M N = 45 °$ ，请探究线段 $A P$ 、 $A N$ 、 $P M$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

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