浙江省杭州市萧山城区六校2021届九年级下学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2021-03-16 类型：开学考试

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一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ （a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$ C、 $\frac{2}{a} = \frac{3}{b}$ D、 $\frac{a}{3} = \frac{2}{b}$

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2. 下列事件中，属于不可能事件的是（）

A、掷一枚骰子，朝上一面的点数为5 B、任意画一个三角形，它的内角和是178° C、若实数 $a > 0$ ，则 $| a | \geq 0$ D、在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直

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3. 下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（）

A、矩形，菱形 B、矩形，正方形 C、菱形，正方形 D、平行四边形，菱形

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4. 若二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x (a \neq 0)$ 过P(1,4)，则这个函数必过点（）

A、(-3,4) B、(-1,4) C、(0,3) D、(2,4)

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5. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠ $α$ ，那么钢管AB的长为（）

A、m•sin $α$ B、m•cos $α$ C、 $\frac{m}{\sin α}$ D、 $\frac{m}{\cos α}$

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6. 若扇形面积为36 $π$ ，圆心角为120°，则它的弧长为（）

A、 $4 π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $8 π$

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中，已知 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ，E，F分别在边AC，AB上，DE//BC，DF//AC，则（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{D F}{A C} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{S_{Δ D B F}}{S_{Δ A D E}} = 2$ D、 $\frac{S_{Δ D B F}}{S_{四边形 E D F C}} = 1$

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8. 如图，四边形ABCD内接于O，连结对角线AC与BD交于点E，且BD为O的直径，已知∠BDC=40°，∠AEB=110°，则∠ABC=（）

A、65° B、70° C、75° D、80°

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9. 已知函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ ，（a、b、c为常数），如图所示，y₂=ax+b.在研究两个函数时，同学们得到结论如下，其中错误的一个结论为（）

A、 $a < 0 ， b > 0 ， c > 0$ B、当x＞3时，ax+b＜0 C、当x＞2时，y₁＞y₂. D、 $a x^{2} + b x + c = a x + b$ 有两个不同的解

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10. 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ $α$ ，则MN可用 $α$ 表示为（）

A、 $r \sin α$ B、 $2 r \sin \frac{α}{2}$ C、 $r \cos α$ D、 $2 r \cos \frac{α}{2}$

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二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 已知一个正多边形的每个内角为120°，则它是正边形.

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12. 把只有颜色不同的1个白球和2个红球放入不透明的盒子中搅匀，然后从中随机摸出1个球后放回搅匀，再次随机摸出1个球，两次都摸到白球的概率为.

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13. 一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度 $h$ （米）与经过的时间 $t$ （秒）满足以下函数关系： $h = - 5 t^{2} + 15 t$ ，则该球从弹起回到地面需要经过秒，距离地面的最大高度为米.

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14. 复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为.

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15. $R t Δ A B C$ 在中，若AB= $\sqrt{3}$ AC，则 $\cos B$ =

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16. 如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧BC上任意一点，线段AF与弦CD交于点G，连结FD和AD.

(1)、若 $A G \cdot A F = 15$ ，则AD=

(2)、在(1)的条件下，若CD= $2 \sqrt{3}$ ，则O的直径为 .

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三、全面答一答（本题有8个小题，共66分）

17. 在平面直角坐标中，二次函数 $y = a (x + 1) (x - 3)$ 的图像经过点(1,4).

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、自变量 $x$ 在什么范围内， $y$ 随 $x$ 增大而增大.

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18. 甲、乙两人进行摸牌游戏：有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5。现将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上。

(1)、甲从中随机抽一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率.

(2)、若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释.

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19. 如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上一点C，测得旗杆顶部的仰角为45°，在C、B之间选择一点D（B，C，D三点共线），测得旗杆顶部的仰角为75°，且CD=8米.

(1)、求D到CA的距离；

(2)、求旗杆AB的高度（保留根号）.

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20. 如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，OD交AC于点E， $\overset{⌢}{A D}$ = $\overset{⌢}{C D}$ .

(1)、求证：OD//BC；

(2)、若AC=10，DE=4，求BC的长.

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21. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4.5，BD＝3.5.AC＝6.△ABC的角平分线AE交CD于点F.

(1)、求证：△ACD∽△ABC；

(2)、若AF=4，求AE的长度.

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22. 在平面直角坐标系内，设二次函数 $y_{1} = {(x - a)}^{2} + a - 1$ （ $a 为常数$ ）.

(1)、若函数 $y_{1}$ 的图像经过点（1，2），求函数 $y_{1}$ 的表达式；

(2)、若 $y_{1}$ 的图像与一次函数 $y_{2} = x + b$ （ $b 为常数$ ）的图像有且仅有一个交点，求 $b$ 值；

(3)、已知 $(x_{0} ， n)$ （ $x_{0} > 0$ ）在函数 $y_{1}$ 的图像上，当 $x_{0} > 2 a$ 时，求证： $n > - \frac{5}{4}$ .

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23. 如图，钝角 $Δ A B C$ 内接于O中，AB=AC，连结AO，BO，延长AC，BO交于点D.

(1)、求证：AO是∠BAD的角平分线；

(2)、若AO=5，AD= $5 \sqrt{6}$ ，求 $\frac{S_{Δ A B O}}{S_{Δ B C D}}$ ；

(3)、若 $\frac{O D}{O B} = k (k > 1)$ ，求 $\cos ∠ A O B$ (用含 $k$ 的代数式表示).

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