江苏省苏州市吴中区校2021届九年级下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2021-03-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 把一元二次方程 $x^{2} + 2 x = 5 (x - 2)$ 化成一般形式，则a，b，c的值分别是（）

A、 $1, - 3, 2$ B、 $1, 7, - 10$ C、 $1, - 5, 12$ D、 $1, - 3, 10$

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2. 方程 ${(x + 1)}^{2} = 1$ 的根为（）

A、0或-2 B、-2 C、0 D、1或-1

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3. 对于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = - 2$ C、顶点坐标是（2，1） D、与 $x$ 轴有两个交点

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4. 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 9，BC = 12，则其外接圆的半径为（）

A、15 B、7.5 C、6 D、3

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5. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上，且 $∠ B A C = 25 °$ ，则 $∠ O C B$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $55 °$ C、 $70 °$ D、 $50 °$

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6. 如图，在扇形 $O A B$ 中，已知 $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = \sqrt{2}$ ，过 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点C作 $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $π - 1$ B、 $\frac{π}{2} - 1$ C、 $π - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{2} - \frac{1}{2}$

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7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 2 a x - b = 0$ 有一个实数根 $x = 1$ ，则下面关于该方程的判别式 $Δ$ 的说法正确的是( ）

A、 $Δ > 0$ B、 $Δ = 0$ C、 $Δ < 0$ D、无法确定

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8. 书架上摆放有5本书，其中2本教科书，3本文学书，任意从书架上抽取1本，抽到教科书的概率是（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 若二次函数y=ax²+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）²+1=0的实数根为（）

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 4$ B、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 6$ C、 $x_{1} = \frac{3}{2}$ ， $x_{2} = \frac{5}{2}$ D、 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = 0$

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10. 已知点O是 $△ A B C$ 的外心，作正方形 $O C D E$ ，下列说法：①点O是 $△ A E B$ 的外心；②点O是 $△ A D C$ 的外心；③点O是 $△ B C E$ 的外心；④点O是 $△ A D B$ 的外心.其中说法一定正确的是（）

A、②④ B、①③ C、②③④ D、①③④

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二、填空题

11. 方程 $x^{2} - x = 0$ 的解为．

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12. 二次函数 $y = 2 x^{2} + 3$ 的图象的顶点坐标为.

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13. 若关于x的方程 $x^{2} + a x - 2 = 0$ 有一个根是1，则 $a =$ .

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14. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $10 cm$ ， $O P = 8 cm$ ，则点P在 $⊙ O$ 的.（填“上面”“内部”或“外部”）

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15. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ .若 $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是 $°$ .

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16. 圆锥的母线长为 $7 cm$ ，侧面积为 $21 π {cm}^{2}$ ，则圆锥的底面圆半径 $r =$ $cm$ .

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17. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有实数解，则m的取值范围是.

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且满足 $P A ⊥ P C$ ，则 $P B$ 的最大值为.

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三、解答题

19. 计算： $2 \sin 30 ° + | \tan 60 ° - 1 | - \sqrt{3}$ .

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20. 解方程：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} - 4 = 0$ ；

(2)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$ .

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ .

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若 $△ A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $B C$ 的长为5，当 $△ A B C$ 是直角三角形时，求k的值.

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22. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的图象经过点(1，0)和点(2，1).

(1)、求a、b的值；

(2)、写出该二次函数的对称轴和顶点坐标.

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23. 某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象.

(1)、求y与x的函数解析式；

(2)、设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值.

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24. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = C B = 6$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，点D为 $⊙ O$ 上一点，且 $C D = C B$ .连接 $D O$ 并延长交 $C B$ 的延长线于点E.

(1)、判断直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求 $△ C D E$ 的面积.

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a (a < 0)$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 经过点C.线段 $P Q$ 在线段 $A B$ 上移动，点P的横坐标为t， $P Q = 1$ ，分别过点P，Q作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点，交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 于D，G两点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、是否存在实数t，使得 $D E = G F$ ？如果存在，请求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由.

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26. 请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线 $O A$ 上一点 $A^{'}$ ，满足 $O A \times O A^{'} = r^{2}$ .

显然点A也是点 $A^{'}$ 的反演点.即点A与点 $A^{'}$ 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径.这种从点A到点 $A^{'}$ 的变换或从点 $A^{'}$ 到点A的变换称为反演变换.

例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 $A (6 ， 0)$ ，以点O为圆心， $A O$ 为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段 $O A$ 的中点，P是 $\overset{⌢}{A B}$ 上任意一点，点D的坐标为 $(0 ， 5)$ ；若C关于 $⊙ O$ 的反演点分别为 $C^{'}$ .

（ 1 ）求点 $C^{'}$ 的坐标；

（ 2 ）连接 $D P$ 、 $P C$ ，求 $D P + 2 P C$ 的最小值.

解：（ 1 ）由反演变换的定义知： $O C \times O C^{'} = r^{2}$ ，其中 $O C = \frac{1}{2} O A = 3$ ， $r = 6$ .

∴ $O C^{'} = \frac{r^{2}}{O C} = \frac{6^{2}}{3} = 12$ ，故点 $C^{'}$ 的坐标为 $(12 ， 0)$ ；

（ 2 ）如图③，连接 $O P$ 、 $P C^{'}$ ，由反演变换知 $O C \times O C^{'} = r^{2} = O P^{2}$ ，

即 $\frac{O C}{O P} = \frac{O P}{O C^{'}}$ ，而 $∠ P O C = ∠ C^{'} O P$ ，

∴ $△ P O C ∽ △ C^{'} O P$ .

∴ $\frac{P C}{C^{'} P} = \frac{O P}{O C^{'}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ，即 $2 P C = P C^{'}$ .

∴ $D P + 2 P C = D P + P C^{'} \geq D C^{'} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ .

故 $D P + 2 P C$ 的最小值为13.

请根据上面的阅读材料，解决下列问题：

如图④，在平面直角坐标系中，点 $A (6 ， 0)$ ，以点O为圆心， $A O$ 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段 $O A$ 的中点，P是 $\overset{⌢}{A B}$ 上任意一点，点D的坐标为 $(0 ， 5)$ .

(1)、点D关于 $⊙ O$ 的反演点 $D^{'}$ 的坐标为；

(2)、连接 $D P$ 、 $P C$ ，求 $2 D P + \frac{5}{3} P C$ 的最小值；

(3)、如图⑤，以 $O A$ 为直径作 $⊙ C$ ，那么 $⊙ C$ 上所有的点（点O除外）关于 $⊙ O$ 的反演点组成的图形具有的特征是.

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