山东省枣庄市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x > \lg x$ ，则p的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty) ， x_{0} \leq \lg x_{0}$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， x \leq \lg x$ C、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty) ， x_{0} > \lg x_{0}$ D、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， x < \lg x$

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3. $\sin 210 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 函数 $f (x) = \ln x + x - 4$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 设 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{\sin (α - π) + \cos (π - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、3 D、2

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6. 为了得到函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图像，可以将函数 $y = sin 2 x$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间 $t$ 后的温度T将满足 $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 是环境温度，h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（）（1g2≈0.3010，1g3≈0.4771）

A、12 B、14 C、16 D、18

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8. 已知函数 $f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{2}{3^{x} + 1}$ ，若 $f (2 a - 1) + f (a^{2} - 2) \leq - 2$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[- 3 ， 1]$ D、 $[- 4 ， 1]$

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二、多选题

9. 若函数 $y = x^{α}$ 的定义域为 $R$ 且为奇函数，则 $α$ 可能的值为（）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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10. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是实数，则下列一定正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$ B、 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ C、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ D、若 $a < b < 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c > b d$

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11. 下列化简正确的是（）

A、 $\sin 15^{\circ} \sin 30^{\circ} \sin 75^{\circ} = \frac{1}{8}$ B、 $\cos^{2} 15^{\circ} - \sin^{2} 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}} = 2$ D、 $\frac{3 - 4 \cos 20^{\circ} + \cos 40^{\circ}}{3 + 4 \cos 20^{\circ} + \cos 40^{\circ}} = \tan^{4} 10^{\circ}$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x + \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有3个零点，则（）

A、在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有1个最小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{17}{6} ， \frac{23}{6})$

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三、填空题

13. 已知： $5^{a} = 3$ ， $\log_{5} 4 = b$ ，用a ， b表示 $\log_{125} 36 =$ ．

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14. 已知扇形面积为 $\frac{3 π}{8}$ ，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} (x - 1) | + m ， 1 < x \leq 3 ， \\ x^{2} - 8 x + 16 + m ， x > 3 ， \end{array}$ ，若函数 $y = f (x)$ 有4个零 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) (x_{3} + x_{4}) =$ .

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16. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{3 x^{2} + 5 y^{2} + 2 x + 4 y}{x y}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | (x - m) (x - m - 1) \geq 0}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、用“五点作图法”，画出函数 $f (x)$ 在一个周期上的图象.

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19. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上.则

(1)、求 $cos (2 α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $sin (β + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{10}}{10} ， - \frac{π}{2} < β < 0$ ，求 $α - β$ 的值.

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20. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .
①求此函数图象的对称中心；

②求 $f (- 2018) + f (- 2019) + f (2020) + f (2021)$ 的值；

(2)、类比上述推广结论，写出“函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为偶函数”的一个推广结论.

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21. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边 $C D$ 为半圆的直径， $O$ 为半圆的圆心， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，现要将此木块锯出一个等腰三角形 $E F G$ ，其底边 $E F ⊥ A B$ ，点 $E$ 在半圆上.

(1)、设 $∠ E O C = \frac{π}{6}$ ，求三角形木块 $E F G$ 面积；

(2)、设 $∠ E O C = θ$ ，试用 $θ$ 表示三角形木块 $E F G$ 的面积 $S$ ，并求 $S$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) - \frac{1}{2} x$ ， $x \in R$ .

(1)、证明： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有公共点，求a的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{x}{2}} + m \cdot 2^{x} - 1 ， x \in [0 ， \log_{2} 3]$ ，是否存在m，使 $g (x)$ 最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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