山东省威海市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - x + 1 \leq 0$

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2. 已知集合 $M = {x | | x - 1 | \leq 1}, N = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 0}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$

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3. 从含有 $3$ 件正品 $2$ 件次品的 $5$ 件产品中，任意取出 $2$ 件产品，则取出的 $2$ 件产品中至少有一件次品的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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4. “ $\forall x \in R, a x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq a < 4$ B、 $a > 4$ C、 $0 < a < 3$ D、 $0 \leq a < 5$

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5. 如图所示的四组数据，标准差最小的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = \ln \sqrt{e}, b = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}, c = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 函数 $f (x) = \ln | x | + \frac{1}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知点 $Р$ 是以 $A B$ 为直径的圆上任意一点，若 $A B = 2,$ 则 $P A + P B$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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二、多选题

9. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.下图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则（）

A、2019年全年仓储业务量指数的极差为18% B、两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高 C、两年上半年仓储业平均业务量指数相比，2019年高于2020年 D、2019年仓储业务量指数的75%分位数是59%

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， x < 0 \\ - 2 x + 3 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则（）

A、 $f [f (- 1)] = - 3$ B、若 $f (a) = - 1$ ，则 $a = 2$ C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数 D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两解，则 $a \in (0 ， 3]$

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11. 若 $a < b < 0,$ 则（）

A、 $a c^{2} < b c^{2}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ C、 $\log_{3} a^{2} > \log_{3} b^{2}$ D、 $\frac{a}{a - c^{2}} < \frac{b}{b - c^{2}}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，其反函数 $f^{- 1} (x)$ 满足 $f^{- 1} (4) = a$ .定义在 $R$ 上的奇函数 $g (x)$ 满足:当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $g (x) = f (3 - x - x^{2}) - a$ ，则（）

A、 $a = 2$ B、当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $g (x) = 2 - 2^{x^{2} + x + 3}$ C、若 $x g (x) < 0$ ，则 $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{l g (x + 1)}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域为．

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14. 求值: $\log_{2} (\log_{2} 32 - \log_{2} \frac{3}{4} + \log_{2} 6) =$ ．

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15. 已知点 $(a, 8)$ 在幂函数 $f (x) = (a - 1) x^{b}$ 的图象上，若 $f (m) + f (1 - 3 m) < 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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16. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 $a = 2 ， b = 3$ ，则该矩形的面积为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 7}{3 x + 1} < 0}, B = {x {| 2}^{x - 1} > 1}$ .

(1)、求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 t < x < 2 t + 1}$ ，且 $C \subseteq A$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - b$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 5}$ ，求关于 $x$ 的方程 ${(2 a - 1)}^{x - 1} b^{3 x} = 8^{x}$ 的解；

(2)、若 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, 3)$ 上有两个零点，求实数 $b$ 的取值范围.

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19. 习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取

n

位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分

100

分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
心理等级	有隐患		一般		良好	优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 $[70 ， 80)$ 的市民为 $400$ 人.

(1)、求

n

的值及频率分布直方图中

t

的值；

(2)、在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在

[40 ， 50)

的市民心理等级转为 “良好”的概率为

\frac{1}{4}

，调查评分在

[50 ， 60)

的市民心理等级转为“良好”的概率为

\frac{1}{3}

，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的

3

人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

(3)、心理调查机构与该市管理部门设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)

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20. 已知函数 $f (x) = {(\log_{3} x)}^{2} - a \cdot \log_{3} x^{2} - 3, x \in [\frac{1}{3}, 9]$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为-6，求实数 $a$ 的值.

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21. 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气温度为 $θ_{0}^{\circ} C （ θ_{1} > θ_{0})$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ (t)$ 满足: $θ (t) - θ_{0} = (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ ( $k$ 为常数)，若经过 $h$ 分钟后物体的温度 $θ (h)$ 满足: $θ (h) - θ_{0} = \frac{1}{2} (θ_{1} - θ_{0})$ ，则称 $h$ 为半衰期，经测定 $h = 12$ .
(附:参考值 $\lg 2 \approx 0.3, \lg e \approx 0.4, \lg 13 \approx 1.1$ )

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用 $85^{\circ} C$ 的水泡制，等茶水降至 $60^{\circ} C$ 时饮用，可以产生最佳口感.那么在 $20^{\circ} C$ 的空气温度下，用 $85^{\circ} C$ 的水泡制该绿茶，大约需要放置多长时间茶水才能达到最佳饮用口感?

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22. 已知函数 $f (x) = l n (e^{x} + e^{- x})$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、设函数 $g (x) = f (a x) - f (x - a)$ ，求使函数 $g (x)$ 有唯一零点的实数 $a$ 的值；

(3)、若 $\forall x \in R$ ，不等式 $e^{2 x} + e^{- 2 x} - 2 m \cdot e^{f (x)} + 6 m + 2 \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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